Пример 43 0£ х£ 0,01l

Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Dl =0,01l в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 £ х £Dl); 2) в средней части ящика

Дано: Решение

Dl =0,01l

0 £ х £Dl 2/l

w₁, w₂ -? x

Dℓ Dℓ

Рис.27

Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x+ dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

dw = |y(x)| ² dx.

В первом случае искомая вероятность найдется интегрирование в пределах от 0 до 0,01l ( рис.27):

(1)

Знак модуля опущен, так как y - функция в данном случае не является комплексной.

Так как х изменяется в интервале 0£ х£ 0,01l и, следовательно , справедливо приближенное равенство

С учетом этого выражение (1) примет вид

После интегрирования получим:

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Dl = 0,001l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением