В. очки экстремума, экстремумы функции

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

(Необходимое условие экстремума)

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производнаяf’(xo) либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: f’(x)=0, называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения f’(x)=0), либо это точки, в которых производная f’(x) не существует.

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

32В. Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки Xo;

2. f’(Xo)=0 или f’(Xo) не существует;

3. производная f’(x) при переходе через точку Xo меняет свой знак.

Тогда в точке X=Xo функция y=f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку Xo производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку Xo производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная f’(x) при переходе через точку Xo не меняет знак, то экстремума в точке X=Xo нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию y=f(x) на экстремум, необходимо:

1. найти производную f’(x);

2. найти критические точки, то есть такие значения X, в которых f’(x)=0 или f’(x) не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.