2015-01-21
824
Пусть функция 
зависит от переменной 
и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал 
, рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала 
данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:
Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.
Определение
Дифференциалом 
-го порядка 
функции называется дифференциал от дифференциала 
-го порядка этой функции, то есть
Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.
Случай независимой переменной
Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции
где 
- некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению
Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина 
является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка
Для вычисления дифференциала 
применим формулу дифференциала первого порядка к функции 
. Тогда получим:
Итак,
Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:
4) Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Приращение 
функции представимо в виде:
где функция 
является б.м. функцией при стремлении аргумента 
к нулю. Так как 
, то
В силу того, что второе слагаемое 
является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому
А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
25)Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна 0.
По условию, ф-ия имеет производную в точке х0, сл-но, при дельта х<0 предел дельта y/дельта х <=> f,(х0)=0
Геометрический смысл теоремы Ферма:
В точке наиб и наим значения, достигаемого внутри промежутка х, касательная к графику ф-ии параллельна оси Ох
