Теорема Ролля

Если ф-ия y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1)Непрерывна на отрезке [a,b]

2)Дифференцируема на интервале (a,b)

3)Значение ф-ии на концах отрезка одинаковое f(a)=f(b), тогда на интервале (а,b) существует по крайней мере одна такая точка с, в которой производная равна 0: f^,(с)=0

Доказательство, т.к ф-ия непрерывна на отрезке (а,b), то по теореме Вейерштраса достигает на нем наиб или наим значения. Возможны два варианта:

1)m=M => f(a)=f(b)=m=M=f(x), f^,(x)=(const)^,=0 c=x принадлежит (а,b)

2)m не равен М, т.к f(a)=f(b) по условию, то либо m, либо М будут достигаться во внутренней точке (а,b)

Геометрический смысл теоремы Ролля:

При выполнении условий 1-3 найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику ф-ии параллельна оси Ох, в этой точке производная ф-ии будет равна 0

Замечание: каждое из условий 1-3 должно выполняться

Теорема Лагранжа

Если ф-ия у=f(x) удовлетворяет условиям:

1)Непрерывна на отрезке [a,b]

2)Дифференцируема на интервале (а,b)

То на интервале (а,b) существует по крайней мере одна такая точка с, в которой выполняется равенство: f^,(c)=(f(b)-f(a)/b-a)*(x-a)

Следствие из теоремы Лагранжа:

Если произодная ф-ии y=f(x) равна 0 на некотором промежутке Х, то эта ф-ия постоянна на всем промежутке

Доказательство: возьмем на промежутке Х отрезок [a,x], тогда по теореме Лагранжа

f^,(x)*(x-a)=f(x)-f(a)

По условию теоремы f^,(c)=0=>0*(x-a)=f(x)-f(a)=>0=f(x)-f(a), т.е f(x)=f(a)=const

28)Теорема Коши^,

Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы на интервале (a,b), причем g^,(х)не равно 0

Тогда существует хотя бы одна точка с принадлежащая (а,b) такая, что f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f^,(с)/g^,(с)

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную ф-ию

F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a)/g(b)-g(a))*(g(x)-g(a)), которая на интервале (а,b) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, легко видеть, что F(a)=F(b)=0, т.е существует точка с, такая, что F^,(с)=0

F^,(х)=f^,(х)- (f(b)-f(a)/g(b)-g(a))*g^,(х)

F^,(с)=0=f^,(с)- (f(b)-f(a)/g(b)-g(a))*g^,(c)

f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f^,(с)/g^,(c) что и требовалось доказать

Пусть ф-ии f(x) и g(x)

1)Определены и непрерывны в окрестности точки х_0,за исключением быть может самой точки х₀

2)Дифференц в окр-ти точки х₀, причем g^,(х)не равен 0

3) lim f(x)=lim g(x)=0

x->0 x->0

Тогда предел отношения ф-ий при х->х₀ равен пределу отношения их производных, если этот предел конечный или бесконечный существует:

lim f(x)/g(x)= lim f^,(х)/g^,(х)
х->x₀x->x₀

Замечания:

1)Правило Лопиталя можно применять для раскрытия неопределенности [беск/беск]