2015-01-21
2209
Для перевода числа в десятичную систему счисления надо записать в развернутой форме и вычислить его значение. Число в развернутой форме представляют как сумму произведений. Каждое произведение состоит из цифры числа умноженной на основание той системы, в которой представлено число в степени, определяющей вес этой цифры в числе.
N = An -1´q n -1 + An -2´q n -2 +…..+ A 0´q0 + A -1´q -1 + A–m ´q -m
где, N – число; А i– цифры числа; q – основание СС, в которой представлено число; n – количество разрядов в целой части числа; m – количество разрядов в дробной части числа.
Пример 5. Перевести в десятичную систему счисления 10,112, 67,58, 19F16
10,112 = 1 ´ 21 + 0 ´ 20 + 1 ´ 2-1 + 1 ´ 2-2 = 1 ´ 2 + 0 ´ 1 + 1 ´ 1/2 + 1 ´ 1/4 = 2,7510
67,58 = 6´81 + 7 ´ 80 + 5 ´ 8-1 = 6 ´ 8 + 7 ´ 1 + 5 ´ 1/8 = 55,62510
19F16 = 1 ´ 162 + 9 ´ 161 + F ´ 160 = 1 ´ 256 + 9 ´ 16 + 15 ´ 1 = 41510
Пример 6. Даны два числа 7410 = 202q, одно в десятичной СС, другое в СС с основанием q. Числа эквивалентны. Чему равно q – основание CC(5)?
Воспользуемся правилом перевода числа из другой СС в десятичную СС, для этого запишем число с основанием q в развернутом виде и приравняем его к известному десятичному:
|
|
|
2´ q 2+ 0 ´ q 1 + 2 ´ q 0 =7410 преобразуем 2q 2 + 2 =74; 2q 2 =72; q 2 =36; откудаоснование СС q = 6.
Практическое задание
1. Выполните перевод чисел из различных систем счисления в десятичную: А) 10001,012 Б) 235,428; В) 1E5,316. Перевод и результат запишите.
B. Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную СС и обратно
Чтобы перевести число из двоичной СС в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Пример 7. Перевести двоичное число 1110101011,1112 в восьмеричную и шестнадцатеричную СС
001 110 101 011, 1112 = 1 6 5 3, 78 0011 1010 1011, 11102 = 3 А В, Е16
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
А В, Е
Таблица перевода натуральных чисел Nq
| N10 | N2 | N8 | N16 | Обратите внимание: |
| ü Цифры, являющиеся алфавитом каждой CC, размещены в затененных клетках. Например: десятичная СС – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 двоичная СС – 0, 1 восьмеричная СС – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 шестнадцатеричная СС – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ü Любую восьмеричную цифру можно представить тремя двоичными разрядами (триадой). Например: 28. = 0102; 58. = 01012; 78. = 1112; Любую шестнадцатеричную цифру можно представить четырьмя двоичными разрядами (тетрадой). Не забудьте цифры от 0 до 7 представлять тетрадой, добавляя ноль в старшем разряде. Например: 216. = 00102; 916. = 10012; Е8. = 11102; | ||||
| A | ||||
| B | ||||
| C | ||||
| D | ||||
| E | ||||
| F |
Чтобы перевести число из восьмеричной (шестнадцатеричной) СС в двоичную, нужно каждую цифру числа заменить на соответствующую триаду (тетраду).
|
|
|
Пример 8 Перевести восьмеричное число 1426,18 в двоичную СС.
1 4 2 6, 18 = 1100010110, 001 2
‡ ‡ ‡ ‡, ‡
001 100 010 110, 001
Пример 9 Перевести шестнадцатеричное число 2В57,416 в двоичную СС.
2 В 5 7, 416 = 10101101010111, 01 2
‡ ‡ ‡ ‡ ‡
0010 1011 0101 0111, 0100
2. Арифметические операции в позиционных СС
Правила выполнения этих операций в десятичной системе применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.
