Рациональные уравнения с одним неизвестным

Приведем решения:

а) уравнений первой степени

, (1)

;

б) квадратных уравнений

, (2)

1) и при ;

2) – корень кратности 2 при ;

3) нет корней при .

При решении уравнений степени больше двух используют следующие приемы:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Метод группировки. Члены многочлена объединяются в группы так, чтобы в каждой группе можно было получить множитель, общий для всех групп.

3. Использование формул сокращенного умножения.

4. Комбинирование выше перечисленных приемов.

5. С помощью нахождения корней многочлена.

Пусть – многочлен n -й степени и – корень этого многочлена. Тогда, по следствию из теоремы Везу, многочлен делится без остатка на двучлен . Следовательно, можно записать равенство , где – есть многочлен, равный частному от деления на двучлен , степень которого на единицу меньше степени многочлена .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Ответ:нет решений.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.Первый способ.

, уравнение действительных корней не имеет .

Второй способ. Методом «подбора» находим корень уравнения . Следовательно, одним из множителей, на которые разлагается многочлен, будет двучлен . Разделим многочлен на двучлен :

x ³+ x ²–2 x –1

x ³– x ² x ²+2 x +2

2 x ²–2

2 x ²–2 x

2 x –2

2 x –2

Следовательно, имеем

Ответ: .

Решения многих рациональных уравнений заключаются в сведении их тем или иным способом к уравнениям (1) или (2).

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. О.Д.З. уравнения есть любое x, кроме и .

Исходное уравнение после приведения к общему знаменателю эквивалентно уравнению или , при условии и .

Решая полученное уравнение, находим, что , но – посторонний корень, так как не входит в О.Д.З. неизвестного.

Ответ: .

Одним из приемов сведения рациональных уравнений и уравнений вида (1) и (2) является введение вспомогательного неизвестного.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Обозначая , запишем исходное уравнение в виде или .

О.Д.З. уравнения есть любое , кроме и .

Последнее уравнение эквивалентно уравнению . Эквивалентность этих уравнений следует из того, что корни последнего уравнения принадлежат О.Д.З. неизвестного. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно двум квадратным уравнениям и . Корень второго уравнения . Первое уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: .