Иными словами, мы получили тот же ответ, что не удивительно

VIII. Начала математического анализа. Производная и первообразная функции, ее геометрический и физический смысл.

Пусть на некотором промежутке определена некоторая функция

Вычисление производной функции производится по общему правилу дифференцирования:

1. Придавая аргументу приращение и подставляя в выражение функции вместо аргумента наращенное значение +, находим наращенное значение функции:

2. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции:

3. Делим приращение функции на приращение аргумента , т.е. составляем отношение:

4. Находим предел этого отношения при :

Этот предел и есть производная от функции . Итак:

Производной функции f(x) в точке х=х₀ называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

Нахождение производной называется дифференцированием.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции (рис.10).

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, т.е. как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t) - закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х.

1) Производная суммы (разности): (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) Производная произведения: (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Производная частного:, если v ¹ 0

4) Производная сложной функции:

Первообразная функция.

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

4. , где u, v, w – некоторые функции от х.

Таблица производных и первообразных некоторых основных элементарных функций.

№	Первообразная	Функция	Производная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Определенный интеграл.

Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

Формула Ньютона-Лейбница:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0X, прямыми и и графиком неотрицательной функции на отрезке находится по формуле:

Пояснения к разделу: Начала математического анализа

Приложение производной к исследованию функции.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , о функция убывает в этом промежутке.

Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в этой точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью производной.

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки I рода функции , т.е. точки принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции .

Рассмотрим два основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Примеры решения задач.

1. Исследовать на экстремум функцию:

Решение. Имеем ; тогда из уравнения получим: и . Составим таблицу:


+	-	+

График функции изображен на рисунке внутри таблицы.

2. Вычислить производную функции

Решение:

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке А(0;1).

Решение: Функция определена, непрерывна и дифференцируема на множестве .

Выпишем уравнение касательной

Найдем искомое уравнение касательной:

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на интервале

Решение:

Найдем критические точки функции, т. е. те точки, в которых производная равна нулю:

В интервал попадают точки с абсциссами 0; -2; 2. В точке с абсциссой 2 значение функции уже найдено, поэтому найдем ее значения в оставшихся точках:

Ответ:

5. Исследовать функцию при помощи производной и построить ее график.

Решение:

1) Область определения:

2) Данная функция нечетная, так как Следовательно, график этой функции симметричен относительно начала координат. Поэтому сначала исследуем эту функцию и построим ее график при

4) На промежутке x>0 функция имеет одну стационарную точку x=2.

5) Производная положительна на промежутке x>2, следовательно, на этом промежутке функция возрастает. На интервале 0<x<2 производная отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает.

6) Точка x=2 является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»;

Составим таблицу:

x	(0;2)	2	(2;+)
F(x)		0	+
F(x)		4

Найдем значения функции еще в двух точках:

Используя результаты исследования, стоим график функции при x>0. График этой функции при x<0 строим с помощью симметрии относительно начала координат (рис.12).