Распределение скоростей в турбулентном потоке

Совершенно очевидно, что характер распределения скоростей должен быть качественно различным в ламинарном слое и турбу­лентном ядре потока.

Для ламинарной (пристенной) области течения характерно υ» υ _и, так что выражение может быть записано в привычной форме. Поскольку речь идет о тонком пристенном слое, можно положить, что здесь τ_Т ≈ τ_S и тогда:

τ_S/ρ= υdv_Л / dy

где у — нормаль к поверхности (в случае круглой трубы у = R— r).

Для турбулентного ядра потока задача о распределении скоростей решается приближенно, с определенными (модельными) допущениями. Наиболее распространенным является подход Л. Прандтля; несмотря на известную не строгость некоторых допущений, получаемые результаты (скорректированные некоторыми эмпирическими константами) достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В основе анализа — уравнение, причем для турбулентного ядра. v _и>> v

Вводим следующие основные допущения:

1) поскольку речь идет об областях течения, не слишком далеко отстоящих от стенки канала, то можно приближенно принять, что и в этой области τ_т = τ_и≈τ_S = const;

2) поскольку все же эти области находятся на известном уда­лении от стенки, то ее влияние на характеристики турбулентности проявляется крайне слабо, так что турбулентность вполне можно считать изотропной (w' ≈ v');

3) изменение скорости ∆w обусловлено переносом ансамбля (пакета) за счет пульсационной скорости v'; связь этих скоро­стей очевидна, можно считать ∆w ~ v или ∆w = k_I / v;

4) длина пути смешения L прямо пропорциональна расстоянию от стенки у: L = k₂*у; при этом коэффициент k₂ призван учесть некоторую неопределенность величины /, а также неточ­ности, связанные с другими допущениями.

Tаким образом, для турбулентного ядра на не очень большом удалении от стенки канала характерен логарифмический про­филь скоростей — соответственно выражению, получившему название закона стенки.

Специально подчеркнем, что граничное условие для опреде­ления постоянной С сформулировать непросто: надо распола­гать значением скорости на границе турбулентного ядра, а так­же толщины последнего. Теоретические оценки здесь крайне приближенные, и поэтому значения к и С' находят из экспери­мента; он же позволяет определить границы применимости логарифмического закона. Наиболее часто в литературе приводятся значения

к = 0,4 и C ^, — 5,5.

Эксперимент подтверждает справедливость закона в пристенной зоне, т.е. в области малых значений у*. При увеличении у* находит подтверждение и закон стенки. Однако для некоторой промежуточной области значений у* (ее называют буферной зоной), где значения v _и и v сопоставимы по величине, при качественном сохранении логарифмического закона требуется количественная корректировка, отражающаяся на численных значениях коэффициентов к и С'.

Типичный профиль скоростей в круглой трубе показан на рис:

для ламинарного режима — по уравнению, для турбулентного режима — по уравнениям; там же штриховой линией обозначен уровень средней скорости и». Из сравнения распределений скоростей при разных режимах течения видно, что пристеночный градиент скоростей (в пределах ламинарного пограничного слоя) в случае турбулентного режима значи­тельно выше, нежели для ламинарного, а сам профиль в турбу­лентном ядре существенно выровнен (говорят: заполнен). Средняя скорость в круглой трубе при турбулентном режиме обычно колеблется в пределах от 0,7 до 0,85 от максимальной (эта цифра, отражающая степень выравнивания скоростей в ядре потока, возрастает с повышением Ке); при переходе к верхнему автомо­дельному режиму (Re> 2-10⁷) естественно w/w_тах →1.

В практических расчетах обоснованное модельными представлениями Л.Прандтля, но достаточно сложное распределение скоростей по иногда заменяют более простым степенным профилем. Наиболее часто используют "закон 1/7", неплохо соответствующий логарифмическому профилю (особенно при у* > 30):

w_Л ~ (y*)^1/7 или w= w_О (y*)¹/⁷,