Интегральный признак Коши

Рассмотрим знакоположительный ряд

. Если функция _φ(k), где k – непрерывная переменная, непрерывная, положительная и убывающая на полуинтервале [1;+∞], то ряд φ₍₁₎+φ₍₂₎+…+φ_(n)+…+ и собственный интеграл ведут себя одинаково относительно сходимости.

24. Числовые ряды с произвольными членами. Теорема Лейбница для знакочередующих­ся рядов. Оценка остатка ряда.

Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .

Знакочередующийся ряд сходится, если (Лейбниц): 1) его члены убывают по абсолютной величине и 2) его абсолютная величина общего члена стремится к нулю, когда n→∞, т.е. .

При этом S ряда удовлетворяет неравенствам: 0< S< U₁

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток r_n знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения с помощью несложных преобразований получаем: .