Числовые ряды. Основные свойства

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

_n = u₁ + u₂ + … + u_n + …, (1) где u₁, u₂, …, u_n, … - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, u_n – общим членом ряда.

Суммой первых n членов ряда (1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S_n, т.е. S_n = u₁ + u₂ + … + u_n.

Рассмотрим частичные суммы S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, S₃ = u₁ + u₂ + u₃, … Если существует конечный предел S = _n последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = _n.

Если _n не существует или _n = ∞, то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Ряд u_{n + 1} + u_{n + 2} + … = _k называется n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов.

Свойства:

1) Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

_n = cu₁ + cu₂ + … + cu_n + …, (2) где c – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1) расходится и c ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

2) Если сходится ряд (1) и сходится ряд _n, а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды

_n ± υ_n), причем сумма каждого равна соответственно S₁ ± S₂.

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.