Понятие высказывания, простые и составные высказывания

Каждая математическая дисциплина имеет свою собственную область объектов, которую она изучает. Например, геометрия изучает геометрические фигуры, математический анализ изучает функции, арифметика – числа. Основным объектом изучения алгебры высказываний, алгебры логики или Булевой алгебры являются высказывания.

Мы будем понимать под высказыванием такое утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Когда суждение, являющееся содержанием какого-либо высказывания, истинно, то и высказывание истинно, и наоборот, если суждение ложно, то и высказывание ложно. В традиционном исчислении высказываний исследуются высказывания, которые или истинны, или ложны, и ни одно высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.

Например: 20 > 5

Москва – столица России

Берлин – один из крупнейших городов Франции

Сколько Вам лет? – это не высказывание.

Любое высказывание будем рассматривать с точки зрения их истинности или ложности (их логического значения, пренебрегая их житейским смыслом, всеми нюансами мысли, характерными для обычной устно или письменной речи).

В логике высказываний применяется искусственный язык, с помощью которого обозначаются высказывания, формулируются законы логики данной дисциплины и частные правила действий с высказываниями. Каждое высказывание мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, и определим формальные правила обращения с высказываниями. Считая, что если А = 0, то высказывание ложно и наоборот. Однозначность построения формул и определения порядка действий будем достигать использованием скобок () – это технические знаки.

Высказывание, обозначенное с помощью одной какой-либо буквой латинского алфавита, будем называть элементарным или атомарным высказыванием. Оно рассматривается как неразложимая единица, т.е. никакое другое высказывание не входит в него в качестве его части.

Единственное свойство элементарного высказывания, изучаемое в алгебре логики, является его истинностное значение. Никакого другого, конкретного содержания элементарное высказывание не имеет.

Заметим, что выражения типа «В том году был хороший урожай хлебов» и «Целое число n является простым» не могут считаться высказываниями, поскольку о них нельзя сказать истинны они или ложны. Дело в том, что такие выражения включают в свой состав переменную («том» и «n») и лишь в зависимости от значения этой переменной они превратятся в истинное или ложное утверждение, и только после этого станут высказываниями. Такие выражения называются пропозициональными переменными.

Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель, впервые разработавший теорию дедукции. Ему принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой и структурой, независимо от конкретного содержания. Вторым витком развития логики стали работы ирландского математика Джорджа Буля (1815 – 1864), работавшего в университете города Корк, отца писательницы Этель Лилиан Войнич. С именем Буля связана революция в логике, она приобрела письменность, появился новый тип алгебры. Другие имена, связанные с этой теорией: Раймундо Луллий (испанский философ, монах–отшельник 12–13 вв.), Б. Спиноза, Н. Винер.