2015-02-24
3978
1. Точка движется в плоскости xy по закону: x = αt, y = at (1 – αt), где α и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) уравнение траектории точки y (x), изобразить её график; б) модуль скорости v и модуль ускорения w точки в зависимости от времени; в) момент τ, в котором вектор скорости составляет угол 
c вектором ускорения.
а) 
| φ |
| y |
| x |
|
|
|
|
б) 
в) 
- не подходит, так как в нулевую секунду угол не
Ответ: а) 
; б) 
; 
; в) 
.
2. Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время движения τ; б) максимальную высоту подъёма h и горизонтальную дальность полёта L, при каком значении угла α 0 они будут равны; в) уравнение траектории y (x), где x и y – перемещения тела по горизонтали и вертикали соответственно; г) полное, тангенциальное и нормальное ускорение в начале и середине траектории; д) радиус кривизны R начала и вершины траектории.
| v0x |
| α |
| α |
| y |
| x |
|
| v0y |
|
| wτ |
|
| wn |
|
|
|
|
По начальным условиям:
а) 
– полное время полёта
б) 
в) 
г) 
В начале траектории: 
В середине траектории: 
д) В начале траектории: 
В середине траектории: 
Ответ: а) 
; б) 
; 
; ; в) 
; г) ; 
; 
; 
; 
; д) 
; 
.
3. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?
| l |
| v0x |
| α |
| y |
| x |
|
|
| v0y |
|
|
|
|
Ответ: 
; 
.
4. Тело брошено под углом α = 60° к горизонту с начальной скоростью v0 = 20 м/с. Найти: а) максимальную высоту подъёма и горизонтальную дальность полёта; б) под каким углом β 1 к горизонту движется тело через τ 1 = 1,5 с после начала движения? Через τ 1 = 2,5 с? в) через сколько времени τ 0 и на какой высоте h тело будет двигаться под углом β 2 = 45° к горизонту?
| l |
| v0x |
| α |
| y |
| x |
|
|
| v0y |
|
|
|
|
|
а)
б) 
в) 
Ответ: а) 
; 
; б) 
; 
; в) 
; 
.
5. Над колодцем глубиной h = 10 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью v0 = 14 м/с. Через сколько времени камень достигнет дна колодца?
| h |
| t2 |
| t1 |
|
|
|
|
(при броске вверх камень вернётся в ту же точку, т.е. перемещение равно нулю)
(с)
(время не может быть отрицательным)
Ответ: 
6. Точка движется в плоскости xy по закону x = a sin ωt, y = a (1 – cos ωt), где ω и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) путь S, проходимый точкой за время τ; б) угол между векторами скорости и ускорения точки.
|
|
|
а) 
(скорость постоянна)
(м)
б) 
(уравнение окружности)
Так как точка движется по окружности с постоянной скоростью, то вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения, т.е. 
.
Ответ: а) 
(м); б) .
7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v0 = 250 м/с: первый – под углом α 1 = 60° к горизонту, второй – под углом α 2 = 45° (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.
t – время полёта второго снаряда, t 0 – интервал между выстрелами.
;
Ответ: 
.
8. Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h спустя время t 1 = 10 с и t 2 = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v0 и высоту h.
Ответ: 
; 
.
9. Частица движется в положительном направлении оси так, что её скорость меняется по закону 
, где α – положительная постоянная. Имея в виду, что в момент времени t = 0 она находилась в точке x = 0, найти: а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдёт первые S метров пути.
а) 
б) 
Ответ: а) 
; 
; б) 
.
