Занятие 2. «Кинематика материальной точки»

1. Точка движется в плоскости xy по закону: x = αt, y = at (1 – αt), где α и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) уравнение траектории точки y (x), изобразить её график; б) модуль скорости v и модуль ускорения w точки в зависимости от времени; в) момент τ, в котором вектор скорости составляет угол c вектором ускорения.

а)

φ

y

x

б)

в)

- не подходит, так как в нулевую секунду угол не

Ответ: а) ; б) ; ; в) .

2. Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время движения τ; б) максимальную высоту подъёма h и горизонтальную дальность полёта L, при каком значении угла α ₀ они будут равны; в) уравнение траектории y (x), где x и y – перемещения тела по горизонтали и вертикали соответственно; г) полное, тангенциальное и нормальное ускорение в начале и середине траектории; д) радиус кривизны R начала и вершины траектории.

v0x

α

α

y

x

v0y

wτ

wn

По начальным условиям:

а)

– полное время полёта

б)

в)

г)

В начале траектории:

В середине траектории:

д) В начале траектории:

В середине траектории:

Ответ: а) ; б) ; ; ; в) ; г) ; ; ; ; ; д) ; .

3. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

l

v0x

α

y

x

v0y

Ответ: ; .

4. Тело брошено под углом α = 60° к горизонту с начальной скоростью v₀ = 20 м/с. Найти: а) максимальную высоту подъёма и горизонтальную дальность полёта; б) под каким углом β ₁ к горизонту движется тело через τ ₁ = 1,5 с после начала движения? Через τ ₁ = 2,5 с? в) через сколько времени τ ₀ и на какой высоте h тело будет двигаться под углом β ₂ = 45° к горизонту?

l

v0x

α

y

x

v0y

а)

б)

в)

Ответ: а) ; ; б) ; ; в) ; .

5. Над колодцем глубиной h = 10 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью v₀ = 14 м/с. Через сколько времени камень достигнет дна колодца?

h

t2

t1

(при броске вверх камень вернётся в ту же точку, т.е. перемещение равно нулю)

(с)

(время не может быть отрицательным)

Ответ:

6. Точка движется в плоскости xy по закону x = a sin ωt, y = a (1 – cos ωt), где ω и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) путь S, проходимый точкой за время τ; б) угол между векторами скорости и ускорения точки.

а)

(скорость постоянна)

(м)

б)

(уравнение окружности)

Так как точка движется по окружности с постоянной скоростью, то вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения, т.е. .

Ответ: а) (м); б) .

7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v₀ = 250 м/с: первый – под углом α ₁ = 60° к горизонту, второй – под углом α ₂ = 45° (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

t – время полёта второго снаряда, t ₀ – интервал между выстрелами.

;

Ответ: .

8. Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h спустя время t ₁ = 10 с и t ₂ = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v₀ и высоту h.

Ответ: ; .

9. Частица движется в положительном направлении оси так, что её скорость меняется по закону , где α – положительная постоянная. Имея в виду, что в момент времени t = 0 она находилась в точке x = 0, найти: а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдёт первые S метров пути.

а)

б)

Ответ: а) ; ; б) .