Алгебраическая проблема собственных значений

Вектор - собственный вектор матрицы A:

(1)

l - собственное значение матрицы A, или СЛАУ

Необходимо и достаточно:

(2)

Характеристический многочлен

Свойство 1:

Если - собственная пара матрицы А, a¹0 – число, то является собственной парой А.

Из (1) или

- собственный вектор,

l - собственное число А.

Свойство 2:

Пусть - собственная пара матрицы , тогда - собственная пара матрицы А.

Из (1):

собственная пара для А.

Свойство 3:

Пусть - собственная пара матрицы А, тогда - собственная пара для матрицы

Умножим слева на

Свойство 4:

Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются .

Из (2) имеем:

Степенной метод (определение наибольших по модулю l и ).

Пусть

собственное число матрицы А,

собственный вектор, соответствующий .

Возьмем произвольный вектор :

базис.

Итерации вектора:

координаты вектора в базисе .

Собственные вектора образуют базис (линейно–независимы)

- разложение по базису из собственных векторов.

- const.

- собственный вектор матрицы А.

(3)

Разложение по базису собственных векторов .

(4)

(4) (4) (3)

или

- координаты в базисе .

Аналогично:

Выбор и .

Делим на

или

m - достаточно большое.

Вектор является собственным вектором А.

отличается от на константу a.

Итак:

e - задано.

m -?

По i среднее арифметическое:

Применение степенного метода для нахождения наименьшего по модулю собственного числа знакоопределенной матрицы А, когда уже найдено.

Для этого находим наибольшее по модулю собственное число - матрицы .

Тогда соответствующий собственный вектор и число будут образовывать искомую собственную пару.

Действительно пусть и - собственные пары матрицы