П.5. Корни из единицы

Пусть – натуральное число. По формуле корней из комплексногочисла, существует ровно n корней из комплексного числа . Для вычисления этих корней запишем единицу в тригонометрическойформе:

, т.е. , .

Обозначим все множество корней через . По формуле корней получаем:

, (6)

, . (7)

В частности, ,

. (8)

Заметим, что верна формула:

. (9)

Действительно, равенство (9) сразу же получается по формуле Муавра:

Теперь мы все множество корней из 1 можем записать так:

(10)

Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.

Доказательство. Сначала мы должны показать, что множество замкнуто относительно умножения. Пусть – два произвольных корня из 1, т.е. . Найдем их произведение:

Замечаем, что

. (11)

Отсюда следует, что , если . В противном случае, . Обозначим через и . Тогда

, ч.т.д.

Таким образом, на множестве определена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна в поле комплексных чисел, то она ассоциативна и коммутативна и на множестве . Далее, . Покажем, что любой элемент из имеет обратный элемент также принадлежащий множеству :

Действительно, по условию . Тогда

, т.е. .

Теорема доказана.

Пример. Построить таблицу умножения для группы .

Решение. Обозначим для простоты

. Тогда , где .

Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):

Изобразим все корни третьей степени из 1 на комплексной плоскости. Т.к. их модуль равен 1, то все они лежат на тригонометрической (т.е. единичной) окружности: