Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .
Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.
Пример. .
.
Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .
Доказательство. Существование.
Пусть .Положим .
.
Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :
Пусть . Положим
Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда
Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.
Единственность. Предположим, что
1) . Значит, ,
2) .
Получили противоречие. Этот случай невозможен.