Группа. Аксиомы группы

Все алгебры можно классифицировать с точки зрения свойств операций, заданных на множествах-носителях. Эта классификация позволяет выделить из множества алгебр алгебры определенного рода, которые будут одинаковы, с точностью до изоморфизма.

Прежде, чем давать определения различных родов алгебр, договоримся о терминологии. Если задана бинарная алгебраическая операция на множестве А, то в зависимости от того, какая задана операция и как она обозначена, будем говорить и писать:

В общей терминологии	В аддитивной терминологии	В мультипликатив-ной терминологии
Операция *	Сложение +	Умножение •
Результат a * b	Сумма a + b	Произведение a • b
Нейтральный элемент е	Нуль 0	Единица 1
Симметричный элемент a'	Противополож-ный элемент -a	Обратный элемент a^-1

Определение 1. Алгебра <А, *> с одной бинарной операцией называется группоидом.

Например, <N, •>, <Z. - >, <Q\{0},:> - группоиды, a <N, +, •>, <N, ->, <Z,:>. <Q,:> - не являются группоидами.

Определение 2. Полугруппой называется алгебра <А, *> с бинарной ассоциативной операцией:

" a,b,cÎ А, (а*b)*с = а*(b*с). Можно сказать, что полугруппа - это ассоциативный группоид.

Например, <N, •>. < Z, +>, <Q, +> - полугруппы, так как операции сложения и умножения на множествах N, Z, Q - ассоциативны. Алгебры <Z, ->, <Q\{0},:> не являются полугруппами.

Определение 3. Моноидом называется алгебра <А, *>, бинарная операция которой удовлетворяет условиям:

1) " a,b,c Î А, (а*b)*с = а*(b*с) - операция ассоциативна,

2) $ е ÎА | " a Î A, е*а = а*е = а - существует нейтральный элемент.

Можно сказать, что моноид - это полугруппа с нейтральным элементом.

Например, <Z, •> - является моноидом, так как е = 1, 1 ÎZ, a <N, +> не является моноидом, так как е=0, 0ÏN.

Определение 4. Группой <G. *> называется алгебра, бинарная операция которой удовлетворяет условиям, называемым также аксиомами группы:

А_l. " a,b,cÎ G, (a*b)*c = a*(b*c) (ассоциативность);

А₂. $ е Î G | "aÎG, e*a = a*e = а (существование нейтрального элемента);

A₃. " a Î G, $ a' Î G | a*a' = a'*a = e (симметризуемость каждого элемента).

Из определения видно, что любая группа является полугруппой и моноидом. Можно сказать, что группа - это моноид, каждый элемент которого имеет симметричный элемент.

В некоторых случаях, удобно использовать следующее определение группы:

Определение 4*. Алгебра <G, *> с бинарной операцией * называется группой, если выполняются следующие условия:

а) " a,b,c Î G, (a*b)*c = a*(b*c).

б) " a,b Î G, каждое из уравнений а*х = b и у*а = b имеет хотя бы одно решение.

Первое определение группы более удобно для проверки того факта, будет ли данная алгебра группой. Второе определение характеризует группу как алгебру, в которой разрешимы уравнения первой степени. Можно доказать, что определения 4 и 4* равносильны. В определении группы заложен алгоритм решения всех задач, связанных с выяснением вопроса - будет ли данная алгебра группой.

Определение 5. Группа <G, *> называется коммутативной (или абелевой), если операция * коммутативна, т.е. выполняется аксиома:

А₄. " a,b Î G, a*b = b*a (коммутативность).

Указание. Для доказательства того, что множество А с операцией * является группой, нужно.

во-первых, показать, что операция * является бинарной операцией на множестве А, т.е. выполнимой и однозначной операцией ранга 2 на А,

во-вторых, проверить выполнимость аксиом A₁, A₂, A₃ группы для алгебры <А, *>.

Если первое из этих условий не выполняется, то нет смысла в проверке аксиом.

Пример 1. Рассмотрим множество Z целых чисел относительно операции сложения. Покажем, что <Z, +> - абелева группа.

а) Операция + является выполнимой на Z, так как " a,bÎZ, (a+b)ÎZ; однозначной на Z, так как результат (а + b) определяется однозначно. Ранг операции "+" равен двум, так как в определении операции используется пара элементов (а, b) ® (а + b). Следовательно, <Z, +> - группоид.

б) Операция "+" ассоциативна на Z, так как " a,b,cÎ Z,

(а+b)+с = а+(b +с). Следовательно, <Z, +> - полугруппа.

в) Роль нейтрального элемента будет играть число 0, так как

" a Î Z, а + 0 = 0 + а = а. Следовательно, <Z, +> - моноид.

г) Для всякого целого числа существует противоположное число: " aÎZ, $ (-а) | а + (-а) = (-а) - а = 0.

Следовательно, <Z, +> - группа.

д) Операция + коммутативна на Z, так как " a,b Î Z, a + b = b + a.

Таким образом, <Z, +> - коммутативная группа. Ее обычно называют аддитивной группой целых чисел.

Пример 2. Рассмотрим множество Z относительно операции умножения целых чисел. Выясним, алгеброй какого рода является пара <Z, •>:

а) Умножение является бинарной операцией на Z, выполнимой и однозначной. Следовательно, <Z, ·> - группоид.

б) Операция умножения на Z ассоциативна, т.е. " a,b,cÎZ,

a(bc) = (ab)c. Следовательно, <Z, •> - полугруппа.

в) Число 1 является нейтральным элементом относительно операции умножения, так как " a Î Z, 1 • а = а · 1 = а. Значит,

<Z, ·> - моноид.

г) Теперь осталось проверить аксиому существования симметричного элемента на Z относительно операции умножения. Очевидно, что все целые числа, кроме 1 и -1, не имеют обратных элементов на Z, то есть аксиома A₃ не выполняется.

Следовательно, <Z, •> - группой не является. Можно также показать, что уравнения ах = b, уа = b разрешимы не для всех целых чисел.

Пример 3. Выясним, будет ли группой множество Q⁰ рациональных чисел без нуля относительно бинарной операции умножения рациональных чисел.

а) Очевидно, что умножение рациональных чисел является бинарной операцией на Q, выполнимой и однозначной. Следовательно, < Q⁰, •> -группоид.

б) Операция умножения - ассоциативна. Следовательно,

< Q⁰, •> -полугруппа.

в) Нейтральный элемент равен 1. Следовательно, < Q⁰, •> - моноид.

г) Кроме того, " aÎ Q⁰, $а^-1ÎQ⁰ | а • а^-1 = а^-1• а = 1.

Итак, < Q⁰. •> - группа. Ее обычно называют мультипликативной группой рациональных чисел. Очевидно, что группа

< Q⁰, •> - абелева.

Определение 6. Группу <G, *> называют бе сконечной, если G -бесконечное множество.

Пример 4. Пусть {a^к} - множество целочисленных степеней некоторого целого числа а. Тогда <{a^к}, •> - бесконечная мультипликативная группа.

Проверьте самостоятельно!

Определение 7. Группу <G, *> называют конечной, если G -конечное множество. Число элементов множества G называют порядком группы и обозначают |G| (или 0r, или (G: 1)).

Пример 5. Рассмотрим пример конечной группы. Пусть дано множество Z и натуральное число m. Будем делить все целые числа на m. Числа, которые при делении на m будут иметь одинаковые остатки, соберем в один класс. Так как различных остатков будет m (0, 1, 2,..., m-1), то и различных классов тоже будет m { }.