Кольцо, поле, линейное пространство

Определение 1. Алгебра <А, +, •> - называется кольцом, если бинарные операции +, • удовлетворяют условиям:

1 -4) <А, +> - коммутативная группа

5) " a, b, c Î A, a • (b + c) = ab + ас

(b + с) • а = bа + са

Из определения следует, что любое кольцо - это коммутативная группа, в которой операция сложения связана с операцией умножения левым и правым дистрибутивными законами. На операцию умножения в общем случае никаких ограничений не накладывается. Если операция умножения дополнительно обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и нейтральным элементом, то кольцо называют ассоциативно - коммутативным кольцом с единицей.

Пример 1. <Z, +, •>, <Q, +, •>, <R, +, •>, <Z_m, +, •> - коммутативные кольца.

Определение 2. Алгебра <А, +, • > называется полем, если бинарные операции сложения и умножения удовлетворяют условиям (аксиомам):

1 -4) < А, +> - коммутативная группа

5-8) <А\{0}, •> - коммутативная группа

9)" a, b, c Î A, a • (b + c) = ab + ас

(b +с) • а = bа + са

Из определения следует, что любое поле - это аддитивная и мульти­пликативная группа одновременно, а также коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Пример 2. <Q, +, •>, <R, +, • >, <Z°_P, +, • > - поля.

Пусть дано не пустое множество V и поле F.

Элементы множества V будем обозначать малыми буквами латинского алфавита и называть векторами. Элементы поля F будем обозначать малыми буквами греческого алфавита и называть скалярами.

Определим на множестве V бинарную операцию сложения векторов Å: V´V®V, +<a, b> ® а + b

и внешнюю композицию wl: F•V®V

wl:<l,а> ® lа (умножение вектора на скаляр),

которую при фиксированном значении скаляра можно считать унарной операцией на множестве V.

Определение 3. Алгебра <V, +{wl | lÎF}> называется линейным векторным пространством относительно операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, если 1-4) <V, +> - коммутативная группа.

5) " a, b Î V " l Î F, l(а+b) = lа + lb

6) " a, b Î F " a Î V, (a+b) • a = aa + ba

7) " a, b Î F " a Î V, (a • b) • a = a • (b • a)

8) " a Î V, la = a

Из определения следует, что любое линейное векторное пространство является аддитивной коммутативной группой.

Примеры 3. <Rⁿ, + {wl | lÎR}> - арифметическое линейное векторное пространство.

Роль векторов в этом пространстве играют арифметические векторы вида: a =(a₁ ,a₂,...,a_n)

Операция Å - это операция сложения таких векторов, операция wl - это операция умножения арифметического вектора на действительное число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют условиям 1-8. Покажем, например, что <Rⁿ, +> - коммутативная группа.

1. Так как операция + по определению является бинарной операцией на Rⁿ, то < Rⁿ , +> - алгебра.

2. " a, b Î Rⁿ, a + b = b + a

Действительно, пусть a =(a₁ ,a₂,...,a_n), b = (b₁ b₂,...,b_n)

Тогда а+b=(a₁+b₁,a₂ +b₂,...,a_n +b_n), b+a=(b₁+a₁ ,b₂+a₂,...,b_n+a_n)

Так как операция сложения действительных чисел коммутативна, то a+b=b+a

3. " a, b, cÎ Rⁿ, (a+b)+c=a+(b+c) проверяется аналогично.

4. Роль нуля будет играть вектор Q = (0,0.. 0).

5. " a ÎV$ -а: а + (- а) = (-а) + а = Q действительно, если a =(a₁ ,a₂,...,a_n), то -a =(-a₁ ,-a₂,...,-a_n), которые в сумме дадут нулевой вектор.

Итак, <Rⁿ, +> - коммутативная группа. Остальные условия в определении линейного пространства проверить самостоятельно.

Замечание. Линейные пространства <R¹, + {wl | lÎR}>, <R², +{wl | lÎR}>, <R³, + {wl | lÎR}> имеют наглядную геометрическую интерпретацию:

R¹ - множество радиусов-векторов на прямой;

R² - множество радиусов-векторов на плоскости;

R³ - множество радиусов-векторов в пространстве.