Группа, аксиомы группы. Подгруппа.
Достаточные условия подгруппы.
1. Выяснить, какие из следующих алгебр являются группами:
a) <N, *>, где *: х®х+1,;
б) <Z, +>, где +: (а,b,с) ® а+b+с,
b) <Z.-,+>,
г) <Z,:>,
д) <N, ->,
e) <R\{0},:>.
2. Доказать, что следующие алгебры являются аддитивными группами:
a) <2Z, +>, б) <Q, +>, в) <Z5, +>,
г) <R,+>, д) <mZ, +>, e) <Z6, +>.
3. Доказать, что следующие алгебры являются мультипликативными группами:
a) <R\{0}, ·>, 6) <Q+, •>, в) <{2к}, •>.
4. Показать, что алгебра <R+, T> является полугруппой и найти нейтральный элемент (когда он имеется), если операция Т задана так:
а) аТb = а(1-b)+b, в) аТb = 2аb-а-b+1,
б) аТb = 2b(а+1)+2а-1, г) аТb = -2а-2b + 6 + ab.
5. Доказать, что <R+, T> является коммутативной полугруппой, если операция Т задана так:
а)Т: (a,b) ® alg(b), б) Т: (a,b)® ab/(a+b).
6. Показать, что <А, Т>, где А = [0, 1], а операция Т задана по правилу аТb = (a+b)/(l+ab), является полугруппой.
7. Найти нейтральный элемент е полугруппы <R, T> и множество всех элементов, обладающих симметричными, моноида <R, Т, е>, если:
|
|
а) аТb = а + b - ab,
б) аТb = - а - b + ab + 2,
в) аТb = 2а+2b-2ab-1,
г) аТb = -2а -2b + 6 + ab.
8. Доказать или опровергнуть, что для любого множества А¹0 алгебра <b(А), Å> является группой, если операция Å задана по правилу: XÅY = (X\Y)È (Y\X), где b(А) - множество всех подмножеств множества А.
9. Показать, что <Z, Т>, является группой, если
а) аТb = а + b + 3
б) аТb = а + b - 2.
10. Показать, что <{а+bÖ3 / a,bÎQ},+> является подгруппой группы <Q,+>.
11. Показать, что <{а+bÖ2 / (а2-2b2 = 1, a,bÎQ°), • > является подгруппой группы <Q°, • >. где Q° = Q\{0}.
12. Дано Zp = {0, 1, 2,..., р-1} множество равноостаточных классов целых чисел. Z°p = Zp\{0}. При каких условиях Zo7<ZoP, a Zo8 < ZoP.
Практическое занятие №3.
Кольцо, поле, линейное пространство.
1. Выяснить, какие из указанных алгебр являются кольцами, полями и линейными пространствами над полем действительных чисел R.
1. <Z, +, •>;
2. <R, +, •>;
3. <Q, +, •>
4. <Z6, +,·>
5. <Z5, +, ·>:
6. <N, +, ·>;
7. R над Q;
8. Q над R;
9. <R1, +, {wl | lÎR}>, где R1 - множество радиус-векторов плоскости.
10. <R1, +, {wl | lÎR}>, где R1 - множество векторов на координатной прямой.
11. Множество радиус-векторов на любой прямой, проходящей через начало координат, относительно операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр.
Практическое занятие №4.