Практическое занятие №14

Отношение делимости в кольце Z.

Свойства отношения делимости в кольце Z.

Деление с остатком в кольце Z.

Теорема о делении с остатком.

1. Доказать, что если (a/с)& (b/с)Þ (a±b)/c

2. Доказать, что если (a/c)&(bÎZ) Þ (аb)/с

3. Доказать, что если (а/b) => |а| > |b|

4. Доказать, что "nÎZ n(n+1)/2

5. Разделить с остатком

а) - 145 на 13 б) 356 на -27 в) - 1248 на 325

6. Доказать, что при "nÎZ (n³ + 5n)/6

7. Доказать, что "nÎZ (n³ + 11n)/6

8. Доказать, что "nÎZ (n³ + n)/2

9. При каких nÎZ число n² - 1 делится на 3?

10. Доказать, что "nÎZ n²(n²-1)/4

11. Доказать, что "nÎZ (n⁵-n)/5

12. Доказать, что если n = 2k + 1, то (n²-l)/8

13. Доказать, что ни при каком nÎZ число n²+1 не делится на 3

Практическое занятие №15

Наибольший общий делитель целых чисел и его свойства. Способы нахождения наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя.

1. Доказать, что если а = bq +r, где а, b, r ¹0, то (а, b) = (b, r).

2. Доказать, что если (а₁, а₂) = d & (d₁, а₃) = d₂ &…& (d_n-2, a_n) = = d_n-1 => (a₁,a₂, a_n) = d_n-1.

3 Применяя алгоритм Евклида, найти НОД(а, b), если:

а) а = 6188, b = 4709.

б) а = 3164, b = 142.

в) а = 10248, b = 2142.

г) а = 4562, b = 356.

д) а = 1524, b = 240.

Практическое занятие №16

Взаимно простые числа и их свойства.

Наименьшее общее кратное целых чисел и его свойства. Способы нахождения наименьшего общего кратного.

1. Доказать, что если d = (a, b) => (а / d, b / d) = 1.

2. Доказать, что если ((а×b) /с) & (а, с) = 1) => (b/с).

3. Доказать, что если (с /а) & (с /b) => (с /ab).

4. Доказать, что если ((а, с)=1) & (b, с) = 1) => (а × b, с) = 1.

5. Доказать, что [а, b] = a×b/(а, b)

6. Доказать, что [a/k, b/k] = [а, b] / к, где к ¹ 0, kÎZ

7. Доказать, что если

([а₁, а₂] = m₁) & ([m₁, а₃] = m₂) &... &([m_n-2,а_n] = m_n-1) => [а₁а₂...а_n]=m_n-1

8. Вычислить НОК [а, b], используя формулу:

[а, b] = a×b/(а, b)

а) а = 84, b = 36

б) а = 72, b = 22

в) а = 124, b = 32

г) а = 244, b=18

9. С помощью решета Эратосфена выделить все простые числа от 2 до 100.

10. Выяснить, какие из чисел

197, 443, 739, 447, 729, 809

будут простыми, какие составными.

11. Найти каноническое разложение чисел:

а) n = 34862

б) n = 126356

с) n = 342124

12. Найти все делители чисел 640, 426, 188.

13. Найти НОД (а, b) и НОК [а, b], используя каноническое разложение.

а) а =124, b = 36, б) а = 328, b = 49,

в) а = 254, b = 52, г) а =1244, b = 356.