2015-02-27
2494
Нужно найти формулу зависимости 
- критической силы (минимальное значение сжимающей силы, при которой возможен продольный изгиб) от геометрических размеров стержня и механических характеристик материала. Данная формула была выведена знаменитым математиком и механиком Леонардом Эйлером в 1744г.
Определим изгибающий момент 
методом сечений. Запишем условие равновесия для оставшейся части:
- изгибающий момент в любом сечении стержня.
у – уравнение упругой линии стержня
- синусоида, знак «-», так как расположена ниже нулевой оси;
f – величина стрелы прогиба.
На концах стержня при х=0 и при х=l у=0 прогиба не будет.
Посередине стержня при 
Подставим значение в приближённое дифференциальное уравнение упругой линии:
Проинтегрируем один раз, получим:
Найдём постоянную интегрирования из граничных условий при 
, так как касательная к упругой линии в середине стержня параллельна оси ох. Следовательно С = 0.
Проинтегрируем во второй раз, получим:
Найдём постоянную интегрирования D из условия: при при х=0 прогиб у=0, следовательно D=0.
|
|
|
Значит:
Так как при , следовательно:
- критическая сила для стержня с шарнирными опорами на концах (формула Эйлера).
l – длина стержня.
- зависит от способа закрепления концов стержня и показывает во сколько раз следует изменить длину шарнирно закреплённого стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе стержня в данных условиях закрепления.
Значения для различных способов закрепления концов стержня.
Оба конца закреплены без шарниров (жёсткое закрепление) - 
Один конец с шарнирно- закреплён, а другой конец защемлён - 
Оба конца шарнирно-закреплены - 
Один конец защемлён (жёсткое закрепление), а другой свободен – 
