Модели в статике

Модели в статике бывают следующего вида.

1. Линейная по входным величинам x и по параметрам:

(4.1)

2. Нелинейная по x и линейная по коэффициенту :

3. Линейная по x и нелинейная по коэффициенту :

4. Нелинейная по x и по :

,

где ­— реакция модели на входные величины .

Встречаются модели и другого вида, например, тригонометрические, логические и др.

Определение функциональной связи по опытным данным представляет трудную задачу. По крайней мере универсальных способов не существует.

Можно указать простой способ определения вида моделей с одной независимой переменной: строят график полученных экспериментальных данных. Если экспериментальные точки образуют некоторую гладкую кривую, то форма этой кривой может подсказать аналитический вид кривой.

Для проверки согласованности выбранной формы модели с экспериментальными данными преобразуют переменные к линейной форме (модели):

Пример. Преобразовать переменные к линейной форме.

1. Модель . Принимаем . Тогда .

2.

и т.д.

Таким образом, параметры нелинейной модели можно определить по экспериментально статистическому исследованию модифицированной линейной модели. Однако, данный способ трудно применить в тех случаях, когда к выходной переменной модели добавляется ненаблюдаемая ошибка .

Например, выражения и неравнозначны, т.к. надо еще прологарифмировать ошибку .

При исследовании реального процесса всегда имеется возможность представить результаты экспериментальных данных множеством моделей. Чтобы выбрать одну из них, надо знать для какой цели находится модель и какие требования к ней предъявляются. Очевидно, главным требованием следует считать способность модели предсказывать направление дальнейших опытов. Другим требованием является минимизация суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных. Далее, желательно, чтобы преобразованная величина подчинялась нормальному распределению и чтобы дисперсия преобразованной случайной величины не зависела от самой величины.

Важным требованием является простота модели. Если несколько различных моделей отвечают необходимым требованиям, то следует принять ту из них, которая имеет более простую зависимость.

Рассмотрим графическую интерпретацию уравнения модели.

Рис. 4.5. Графическая интерпретация уравнения модели.

На рис.4.5 изображена логарифмическая функция. На отрезке [x_min,x_max] она с определенной точностью может быть описана двумя уравнениями:

(4.2)

(4.3)

Уравнение (4.3) является линейным алгебраическим и его функциональная зависимость проще, чем уравнение (4.2), которое является трансцендентным.

Поэтому, при прочих равных условиях более предпочтительными являются степенные ряды. Таким образом, выбор модели, как правило, следует искать среди алгебраических полиномов. Причем на первом этапе планирования эксперимента выбирают линейную модель в виде алгебраического полинома первой степени (4.1).