Таким образом, линейное множество с введенной нормой является линейным нормированным пространством функций

Определение 3: Линейное нормированное пространство называется полным, если любая принадлежащая ему последовательность удовлетворяющая условию Коши, сходится к некоторому элементу принадлежащему этому пространству.

Определение 4: Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.

Пример банахова пространства пространство - пространство действительных чисел.

Введем еще одно определение, которое будет использоваться в дальнейшем.

Определение 5: Совокупность всех функций , для которых функция интегрируема на области G обозначается .

На этом множестве можно ввести скалярное произведение и норму по формулам:

(2)

( - функция, комплексно сопряженная)

(3)

Свойства:

1. ;

2. ;

Т.о. становится линейным нормированным пространством

- линейное пространство второго порядка, т.к. - интегрируемость с квадратом.

Определение 6: Функция из называется нормированной, если . (4)

Определение7: Функция и g из называются ортогональными, если. (5)

Пример:

Система тригонометрических функций: ½, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cos3x, sin3x ортогональна на отрезке [0; 2π]: т.е интеграл на отрезке [0; 2π] от произведения двух разных функций этой системы равен 0.

Это вытекает из равенства:

Если k<l, k-l = - p, то sin(- p)=-sin(p), тогда имеем

sin(-2πp)=0 (где р -целое число)

Если k>l, k+l=q то sin2π q =0, (где q -целое число).

Т.е. имеем

Если l-k>0, l-k=p, l+k=q.

Определение 8: Система функции из , называется ортонормальной в ,если (φ_k,φ_i)=σ_ki, где σ_ki-символ Кронекера

(6)

Напомним, что всякая ортонормальная система функций состоит из линейно независимых функций, т.е из того что:

, где α_k - числа, откуда следует, что α_k=0.

Найдем норму функций для этого тригонометрического ряда:

, нормированная система.

Рассмотрим более детально:

Получили:

система система

Если Т=2π, то имеем

и т.д.

Умножая тригонометрические функции на надлежащие множители можно получить ортонормальную систему.

Примером ортонормальной системы в также является следующая тригонометрическая система:

(8)

(8)- комплексный ряд. Периодичность [0;2π]

Т.е. система функций ортогональна.

При переходе к ортонормальной системе нормируется на 2π.

Проверим:

Потому что:

Домашнее задание:

1. Докажите, что система функций: 1,cos x, cos 2x, …,cos nx ортогональна на [0;π].

2. Докажите, что система функций: 1,sin x, sin 2x, …, sin nx ортогональна на [0;π].

Пусть система функций ортогональна в .

Наличие ортогональной системы функций позволяет разложить по ней произвольную функцию :

(9)

Причём области определения и должны быть одинаковы, т.е.

,

или и образуют пространство функций (интегрируемость с квадратом (см. ранее)).

на интервале (a,b)

Для нахождения коэффициентов a_n, надо

(10)

(система функций ортогональна и остаётся один член с одинаковыми индексами).

Откуда,

(11)

Числа (11) являются коэффициентами ряда Фурье относительно элемента , ортогональной системе , а ряд (9)

(12)

является рядом Фурье функции по ортогональной системе .