Задача о наименьшей квадратичной ошибке

На практике бесконечную сумму считать невозможно и мы имеем конечную сумму.

Какова же ошибка?

(13)

многочлен – n -го порядка по ортогональной системе.

Поставим задачу. При каких , многочлен ближе к , т.е. ошибка наименьшая. Под ошибкой будем понимать ошибку по норме (т.е. в точках могут быть большие отклонения)

(14)

и спрашивается при каких будет минимальным

(15)

Считая функции f и действительными, имеем

(16)

Теперь имеем

минимум достигается, если

(17)

условие экстремума

или , или из (16)

Откуда,

(18)

Осталось определить тип экстремума. Он зависит от знака

(19)

т.е. экстремум - это абсолютный минимум.

Таким образом, разложение Фурье по ортогональной системе обеспечивает минимум ошибки

(20)

с учётом связей ясно, что , т.к. это число есть min. неотрицательной нормы.

Из того, что следует

, (21.1)

где - многочлен.

И это неравенство имеет смысл при

, (21.2)

где - функция.

Это неравенство Бесселя.

Но если , то неравенство Бесселя сводится к неравенству Парсеваля

(22)

- функция, и

Отсюда выводы, чтобы ошибка была = 0 надо иметь полную ортогональную систему, т.е. все собственные функции.

Соответствующая теорема имеет вид.

Теорема. Для того, чтобы ортонормированная система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы для любой в этом же классе выполнялось равенство Парсеваля.

, (22)

где - коэффициенты разложения в ряды Фурье.

Воспользуемся соотношениями Парсеваля.

(23’)

Вычтем из первого второе

левая часть из (22)

(24)

из (22)

Более подробно:

(25)

откуда и следует ответ.

В (13) мы применили замену функции многочленом . Для минимизации ошибки, Чебышев показал, что любая непрерывная функция на интервале [a,b] лучше всего представима многочленами (в смысле минимума ошибки), если в качестве многочлена будут взяты многочлены Чебышева.