Основные теоретические сведения. Примеры расчета установившихся и переходных режимов

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 2

Примеры расчета установившихся и переходных режимов

в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами

Учебное пособие

Алматы 2011

УДК 621.3 (01)

ББК 31. 221 Я73

Ж 79. Учебное пособие. З.И. Жолдыбаева., Е.Х. Зуслина

Примеры расчета установившихся и переходных режимов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами

АУЭС. Алматы, 2010. - 78 с.

I SBN 9965-850-35-6

В пособии представлены типовые задачи с подробными решениями и пояснениями, примеры применения основных методов расчета электрических цепей в установившемся и переходных режимах.

Предназначается для студентов специальностей 5В070400 – «Вычислительная техника и программное обеспечение».

Табл.1, ил.114, библиогр. - 8 назв.

ББК 31. 221 Я73

РЕЦЕНЗЕНТЫ: КазНТУ канд. техн. наук. доц. Иманбекова Т.Ж.,

АУЭС канд. тех. наук, проф. Г.С.Казиева

Печатается по плану издания Министерства образования и науки Республики Казахстан на 2010 г.

ISBN 9965-850-35-6

©НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2010г.

Введение

Теории электрических цепей являются базовым курсом, на который опираются профилирующие дисциплины радиотехническихспециальностей, специальностей по вычислительной технике и информационным системам. В соответствии с новыми учебными планами курс ТЭЦ изучается в течение двух семестров. При этом существенно увеличен объем самостоятельной работы студентов (до 60% от общего числа часов).

Цель настоящего учебного пособия состоит в оказании помощи студентам в их самостоятельной работе. Поэтому все задачи даны с подробными решениями, пояснениями, методическими указаниями, приведены основные положения теории и необходимые расчетные формулы.

В пособии рассмотрены различные методы расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами: классический, операторный, спектральный методы, интеграл Дюамеля. Показаны методы расчёта различных режимов в цепях с распределёнными параметрами и в нелинейных цепях постоянного тока.

Классический метод расчета переходных процессов

Основные теоретические сведения

В работе электрических цепей различают два режима процессов: установившийся и переходный.

Установившимся режим – это режим, при котором токи и напряжения либо не зависят от времени, либо являются периодическими функциями времени в зависимости от вида приложенного воздействия.

Переходным процессом называют электромагнитный процесс, возникающий в цепи, содержащей накопители энергии (индуктивности и ёмкости) при переходе от одного установившегося режима к другому.Возникновение переходных процессов в цепях с энергоемкими элементами обусловлено тем, что энергии электрических полей конденсаторов и магнитных полей индуктивных катушек вследствие закона непрерывности изменения энергии не могут изменяться скачком.

Переходный процесс возникает в электрических цепях, при различного рода воздействиях (подключении к цепи или отключении от цепи источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов), которые называются коммутациями. Коммутация осуществляется с помощью идеального ключа: сопротивление ключа в разомкнутом положении равно , в замкнутом – 0.

Будем считать, что коммутация происходит мгновенно . Начало отсчёта времени совмещается с моментом коммутации.

Законы коммутации:

1) Ток в индуктивности непосредственно после коммутации

сохраняет значение, которое он имел непосредственно до коммутации :

(1.1)

2) Напряжение на ёмкости непосредственно после коммутации

сохраняет значение, которое оно имело непосредственно до коммутации : (1.2)

Начальные условия − значения токов и напряжений при t = 0.

Независимые начальные условия − это значения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в момент коммутации , которые определяются на основании законов коммутации путем расчета установившегося режима в цепи до коммутации. Зависимые начальные условия − это значения токов и напряжений и их производных в момент коммутации , которые в момент коммутации могут изменяться скачком, например: и т.п. Они определяются по схеме, образованной после коммутации, по законам Кирхгофа с учетом законов коммутации. Пример дан в задаче 1.1.

При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа или с помощью других методов расчета цепей, например метода контурных токов или метода узловых потенциалов. При этом используются соотношения между токами и напряжениями:

(1.3)

В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная (ток или напряжение), и исключением других переменных из системы уравнений получают одно дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее только основную переменную. Полученное, в общем случае, линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, имеет вид:

(1.4)

где − постоянные коэффициенты, зависящие от схемы цепи и её параметров; − выходная величина, основная переменная (ток или напряжение ); − функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Если этот порядок будет первым, то и цепь называют цепью первого порядка, эти цепи содержат только однотипные реактивные элементы (ёмкости или индуктивности. Цепь, содержащая два независимых накопителя энергии (и ёмкость и индуктивность), описывается уравнением второго порядка и называется цепью второго порядка.

Решение уравнения (1.4) ищется в виде: (1.5)

где − принуждённая составляющая, являющаяся частным решением уравнения (1.4), и определяется путём расчёта установившегося режима в цепи после коммутации; − свободная составляющая, являющаяся общим решением однородного дифференциального уравнения:

. (1.6)

Общая формула свободной составляющей имеет вид:

(1.7)

где - постоянная интегрирования; - корни характеристического уравнения .

Выражение свободной составляющей зависит от вида корней характеристического уравнения. Для цепи второго порядка выражение свободной составляющей имеет вид:

при действительных и различных корнях < 0 и < 0

,

при действительных и равных корнях = =р < 0

,

при комплексно-сопряжённых корнях (α – коэффициент затухания, ω_СВ – частота свободных колебаний)

где А и ψ постоянные интегрирования;

или

Характеристическое уравнение. Методы составления характеристического уравнения: 1) по однородному дифференциальному уравнению, например, для уравнения (1.6), характеристическое уравнение имеет вид: ; 2) методом главного определителя суть которого состоит в следующем:записывают определитель матрицы комплексных контурных сопротивлений (узловых проводимостей) и, заменив на р, приравнивают его к нулю; 3) методом входного сопротивления: а) записывают входное комплексное сопротивление цепи после коммутации относительно любой ветви, кроме ветви с идеальным источником тока; б) в формуле заменяют на р; в) полученное выражение приравнивают к нулю: .Пример дан в задаче 1.2.

Постоянные интегрирования. Особенностью классического метода является необходимость определения постоянных интегрирования, число которых зависит от порядка цепи. Постоянные интегрирования определяются по значениям искомой выходная величины и её производных, рассматриваемых в момент :

а) для цепи первого порядка постоянная интегрирования определяется из уравнения: ;

б) для цепи второго порядка постоянные интегрирования определяются по начальным значениям .

Корни действительные и различные:

Корни комплексно-сопряжённые:

Порядок расчета переходных процессов классическим методом:

а) определяют независимые начальные условия и ;

б) записывают дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа, решение которых представляют в виде: ;

в) определяют принуждённую составляющую ;

г) определяют : составляют характеристическое уравнение, вычисляют его корни и находят постоянные интегрирования,

д) построение графика