Задача 1. С какой высоты упало тело, если последнюю четверть пути оно прошло за 0,5 с?
Дано: h2 = ¼ h; t2 = 0,5 c. h -? | Решение: Всю высоту найдем из уравнения: , (1) где t – все время падения |
- тело будет падать за t – t2. . (2) Выразив из (2) высоту и приравняв (1), получим . (3) Решая уравнение (3), найдем все время падения t2 = 1,33 (t – 0,5)2; t2 = 1,33 (t – 2t ·0,5 + 0,52); t2 = 1,33 t2 – 1,33 t + 0,33; 0,33 t2 – 1,33 t + 0,33 = 0. ; t1 = 3,78 c; t2 = 0,25 c. Корень t2 = 0,25 c не соответствует условию задачи, поэтому все время падения будет равно 3,78 с. Подставив данное значение в уравнение (1), получим . Ответ: 70 м. |
Задача 2. С вертолета, летящего горизонтально на высоте 125 м со скоростью 25 м/с, бросили груз. На какой высоте скорость груза будет направлена под углом 60о к горизонту?
Дано: h = 125 м; o = 25 м/с; = 60о. h2 -? | Решение:
o 0
X
h1
y h h2 Y Рис. 1 | |||||||
Уравнение движения груза в проекциях на оси X и Y имеют вид: . (1) Из рисунка видно, что y = otg =gt1; x = 0. (2) Решая (2), получим . Подставим (2) в (1) ; h1 = ; h2 = h – h1; h2 = 125-95,6 = 29,4 м. Ответ: h2 = 29,4 м. |
Задача 3. Из орудия, ствол которого наклонен под углом 600 к горизонту, вылетает снаряд со скоростью 400 м/с. Определить скорость снаряда и его высоту через 4 с после выстрела.
Дано:
= 600;
o = 400 м/с;
t = 4 c.
-? h -? | Решение: у у А x 0y 0 H 0x x Рис. 2 | |||
Через 4 с снаряд еще не поднимется до высшей точки, это случится позже, через время , когда станет равна нулю. Следовательно, через 4 с тело окажется в точке А. Скорость в точке А , где ; . ; . Подставим численные значения в полученное уравнение: . Высоту найдем из уравнения: ; . Ответ: = 380 м/с; h = 1312 м. |
Задача 4. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением , где , D =0,01 м/с3 и через какое время t тело будет иметь ускорение 1м/с2? Найти среднее ускорение тела за этот промежуток времени.
Дано: t-? -? | Решение: Мгновенная скорость Ускорение Таким образом , откуда . Среднее ускорение . Поскольку |
, то можно найти ; , где ; отсюда . 0,14 +3. 0,01. 12 м/с2 =0,64 м/с2. Ответ: ; . |
Задача 5. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти радиус кривизны траектории камня через время 3 c после начала движения.
Дано: x = 10 м/с; t = 3с. R-? | Решение:
Рис. 3 | ||||||||||||||||||
Нормальное ускорение камня . (1) Из рисунка видно, что . (2) Из уравнения (1) (3) где ; (4) sin = ; (5) (6) Сделав соответствующие подстановки в (3), получим: Ответ: м. |
Задача 6. Маховик, вращающийся с постоянной частотой , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой . Определить угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал оборотов.
Дано: | Решение: Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением: ,(1) откуда (2) Но так как , , то (3) |
Подставим значения, получим Знак минус указывает на то, что маховик вращается замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота φ со средней угловой скоростью вращения и временем t: По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно записать , тогда (4) Откуда (5) Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим Ответ: |
Задача 7. Горизонтальная платформа массой вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой Человек массой стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.
Дано: ; = об/с; . n2 -? | Решение:
Рис. 4 | |||||||
можно воспользоваться законом сохранения момента импульса.
В проекции на ось :
(1)
где - момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, - момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, и - угловые скорости платформы в обоих случаях. Здесь
, (2)
где - радиус платформы. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что , где - частота вращения платформы, получим ;
n2= 0,16 . = 0,352 об/с.
Ответ: n2= 0,352 об/с.
Задача 8. Две гири с массами 2 кг и 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой 1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения и нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.
|
Задача 9. Граната, летевшая горизонтально со скоростью 12 м/с, разорвалась на две части. Массы кусков равны 10 кг и 5 кг. Скорость большого осколка 25 м/с и направлена под углом 300 к горизонту вниз и вперед. Найти величину и направление скорости меньшего осколка.
Дано: = 12 м/с; m1 = 10 кг; m2 = 5 кг; 1 = 25 м/с; = 300. 2 -? -? | Решение: у m2 2 m х m1 1 Рис. 6 |
Запишем закон сохранения импульса m = m1 1 + m2 2. (1) В проекциях на оси х и у: ось х: ; (2) ось у: . (3) Решая (2) и (3), получим: ; . ; . = 740. ; . Ответ: 2 = 26 м/с, = 740. |
Задача 10. В небольшой шар массой М, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной l, попадает пуля массой m, летящая со скоростью V0 под углом α к горизонту и застревает в шаре. Определить, на какой максимальный угол отклонится нить с шаром от вертикали?
Дано:
М; m;
; 0;
α.
| Решение:
-h β
α х Рис. 7 | ||||||||||||||
Из рисунка = cos , тогда . (3) Решая (1), (2), (3) получим . Ответ: . |
Задача 11. Материальная точка массой 20 г совершает гармонические колебания с периодом 9 с. Начальная фаза колебаний 10°. Через сколько времени от начала движения смещение точки достигнет половины амплитуды? Найти амплитуду, максимальные скорость и ускорение точки, если полная энергия ее равна 0,001 Дж.
Дано: | Решение: Уравнение гармонического колебательного движения: , (1) где: - смещение точки относительно положения равновесия; - амплитуда колебания; - циклическая частота; - период колебания; - время колебания; - начальная фаза колебания. | |
Из уравнения (1) можно определить время колебания : ; ; ; (2) Подставляя числовые значения в формулу (2), получим: Амплитуду колебания можно определить из формулы полной энергии колеблющейся точки : ; (3) . (4) Подставляя в формулу (4) числовые значения в единицах СИ, получим: м = 1,43 м. Зная амплитуду, можно вычислить максимальную скорость точки, которая определится как первая производная от смещения по времени: Полагая , получаем значение максимальной скорости: . (5) Определяем числовое значение: Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по времени, т.е. . (6) Считаем при максимальном ускорении что дает: Подставляя все числовые значения в единицах СИ, получаем: Ответ: | ||
Задача 12. Ареометр массы 55 г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости 1,27 г/см3. Если прибор сместить из положения его равновесия немного по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить период колебаний. Радиус трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен 0,30 см.
Дано: T-? | Решение: На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы: сила тяжести и выталкивающая, архимедова сила , равная весу жидкости, вытесненной телом: (1) |
где - объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной части ареометра. Выясним соотношение между действующими на тело силами в двух случаях: 1) ареометр находится в равновесии. Приложенные к нему силы уравновешиваются. Приняв направление вниз за положительное, запишем (2) 2) ареометр смещен из положения равновесия по вертикали на величину ( алгебраическая величина). Поскольку изменится объем погруженной части прибора, выталкивающая сила также изменится. К ареометру будет приложена равнодействующая, направленная по вертикали и равная (3) где изменение объема погруженной части прибора. Подставив в (4) это значение и раскрыв скобки, получим с учетом (1) (4) где постоянная величина. Видим, что на ареометр действует сила, пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, он совершает гармонические колебания, период которых найдем по: = ; T = c= 2,5 c. Ответ: |