2015-02-27
697
Докажем следующую теорему об общем уравнении прямой:
Теорема 1. Любая прямая на плоскости задается в аффинной системе координат уравнением первой степени с двумя неизвестными 
, где А и В не равны 0 одновременно. Обратно, линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени (где А и В не равны 0 одновременно), есть прямая. Вектор 
является направляющим вектором этой прямой.
□ Пусть 
- прямая, 
. Запишем каноническое уравнение прямой :
.
Преобразуем его: 
.
Положим 
. Тогда уравнение прямой имеет вид:
.
Так как 
(по определению), то 
и 
не равны 0 одновременно, следовательно, А и В не равны 0 одновременно.
Докажем обратное утверждение. Пусть некоторая линия задана в аффинной системе координат на плоскости уравнением , где 
. Докажем, что - прямая.
Найдем уравнение прямой 
, заданной точкой 
и направляющим вектором 
, где А, В и С взяты из уравнения линии :
.
Преобразуем это уравнение: 
. Итак, 
, причем , т.к. 
.
Уравнение прямой в точности совпадает с уравнением линии , следовательно, совпадает с , т.е. есть прямая.
Так как вектор является направляющим вектором прямой , а совпадает с , то - направляющий вектор прямой . ■
Уравнение называется общим уравнением прямой;
х и у – текущие координаты произвольной точки прямой.
