Решение. Чтобы найти энергию электрического поля в некотором объеме, надо знать объемную плотность энергии

Чтобы найти энергию электрического поля в некотором объеме, надо знать объемную плотность энергии, а для этого, в свою очередь, надо знать напряженность электрического поля. Так как по условию заряд распределен в пространстве сферически симметрично, то для нахождения напряженности поля надо применить теорему Гаусса. Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиуса r < R (рис.2.4). Силовые линии электрического поля в любой точке сферы будут перпендикулярны к ней, а модуль напряженности во всех точках сферы будет одинаков. Тогда поток вектора напряженности через поверхность сферы равен

.

Рис.2.4

Заряд, попавший внутрь этой сферы, надо искать интегрированием: , при этом, так как ρ зависит только от r, элемент объема dV – это объем сферического слоя радиусом r и толщиной dr, то есть dV = 4 π r²dr. Тогда заряд q равен .

Используем теорему Гаусса, приравнивая поток вектора напряженности через поверхность S суммарному заряду внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную ε₀:

.

Выразим отсюда напряженность электрического поля Е: .

Теперь найдем объемную плотность энергии электрического поля внутри шара:

И, наконец, найдем энергию электрического поля, заключенную в шаре:

Вычислим значение энергии:

Ответ: W = 6,34·10^-4 Дж.