Примеры решения задач. Задача 1.4.1. В результате анализа данных об отказах АСУ плотность вероятности отказа получена в виде f(x)= 6le-lx(1- e-lx)

Задача 1.4.1. В результате анализа данных об отказах АСУ плотность вероятности отказа получена в виде f (x)= 6le^{-l x} (1- e^{-l x}). Требуется определить вероятность безотказной работы Р(t) и среднее время безотказной работыТ_о.

Решение.

Запишем формулу для определения вероятности безотказной работы

P(t)=1- .

Определим P(t)

P(t)=1 –

=

=1+3´

Проверка

при t=0, P(0)=1, при t®∞, P(∞)®0, P(∞)= e^-2l∞(3-2 e ^-l∞)=0(3-0)=0.

Запишем формулу для определения среднего времени безотказной работы

Т₀= .

Определяем Т_о

=

Проверка

Размерность Т₀ [ч]. Так как l[ ], а l стоит в знаменателе, то размерности правой и левой части совпадают.

Ответ: P(t)= .

Задача 1.4.2. Дана структурная схема надёжности (ССН) (рис. 1.7)

Исходные данные: Р1=0,5 Р2=0,5 q3=0,4 q4=0,5 q5=0,4 q6=0,1

a

c

b

d

Рис. 1.7

Требуется рассчитать надёжность невосстанавливаемой резервированной системы (Р_с). Расчёт надёжности основан на выделении и последующем рассмотрении простейших участков, содержащих либо только последовательные, либо только параллельные соединения.

Решение.

1. Разобьём ССН на участки с однородным соединением по надёжности. Имеем три участка: 1) ас; 2) сb; 3) аdc.

2. Определим вероятность безотказной работы участка ас (по формуле для резервированного соединения):

P_ac=P_1,2=1- q₁q₂.

C учётом конкретных исходных данных

P_ac=1-(1-p₁)(1-p₂)=1-(1-0,5)(1-0,5)=0,75.

3. Определим вероятность безотказной работы участка сb (по формуле для резервированного соединения):

P_cb=P_3,4,5=1-q₃q₄q₅.

C учётом конкретных исходных данных

P сb =1- q₃q₄ (1-p₅)=1-0,4´0,5(1-0,5)=0,88.

4. Определяем вероятность безотказной работы участка acb (по формуле для основного соединения)

P _acb =P _ac ´P _cb =P_1-5=0,75´0,88=0,66.

5. Определяем вероятность безотказной работы системы (по формуле для резервированного соединения)

P_c=1-q _acb q₆=1-(1-P _acb)q₆=1-(1-0,66) ´0,1=0,996.

Ответ: Р_с=0,996.

Задача 1.4.3. Для повышения надёжности логического устройства АСУ был использован восстанавливающий орган (ВО) . Вероятность отказа по «1» неизбыточного блока равна q₁=0,1; вероятность отказа по «0» q₀=0,1.

Определить вероятность по «0» (Q₀), вероятность отказа по «1» (Q₁) и вероятность безотказной работы избыточного устройства (Р). Определить также выигрыш по надёжности при использовании ВО (В).

Решение:

1. Определим вероятность отказа по «0»

Q₀=

2. Определим вероятность отказа по «1»

Q₁= .

3. Определяем вероятность безотказной работы избыточного устройства

P=1-Q₁-Q₀=1-0,028-0,028=0,944.

4. Определим выигрыш по надёжности при использовании восстанавливающего органа

Ответ: Q₀=Q₁=0,028; P=0944; B=3,3 раза

Задача 1.4.4. Вероятность отказа типа ложная «1» неизбыточного логического блока АСУ равна q₁=0,1. Определить, при каких значениях вероятности отказа типа ложной «0» q₀ целесообразно использовать восстанавливающий орган и при каких

Решение

Запишем формулы для вероятности отказа:

для ВО

для ВО

Поскольку в данной задаче q₁=const обозначим

и вычислим их значения

Рассчитаем значения и при различных значениях q₀, результаты сведём в таблицу 1.1

Таблица 1.1

q0
	0,000	0,271	0,271	0,000	0,000	0,028	0,028	>0
0,1	0,001	0,271	0,272	0,001	0,027	0,028	0,056	>0
0,2	0,008	0,271	0,279	0,008	0,096	0,028	0,132	>0
0,3	0,027	0,271	0,298	0,027	0,189	0,028	0,244	>0
0,4	0,064	0,271	0,335	0,064	0,288	0,028	0,380	<0
0,5	0,125	0,271	0,396	0,125	0,375	0,028	0,528	<0
0,6	0,210	0,271	0,481	0,210	0,432	0,028	0,676	<0
0,7	0,343	0,271	0,614	0,343	0,441	0,028	0,812	<0
0,8	0,512	0,271	0,783	0,512	0,384	0,028	0,924	<0

Построим графики (рис. 1.8)

Q

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 q₀

Рис. 1.8

Из графика видно, что при q₀ < 0,34 целесообразно использовать , а при q₀ > 0,34 – .

Задачи

Задача 1.5.1.

Вероятность безотказной работы системы 120 часов равна 0,9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надёжности. Требуется рассчитать интенсивность отказов и плотность вероятности отказа для момента времени t=1000 ч.

Задача 1.5.2.

Допустим, что в результате анализа данных об отказах систем плотность вероятности в виде f(x). Требуется определить вероятность безотказной работы Р(t) и среднюю наработку до отказа Т₀ (таблица 1.2.).

Таблица 1.2

№ задачи	Исходные данные	№ задачи	Исходные данные
1.		8.
2.		9.
3.		10.
4.		11.
5.		12.
6.		13.
7.		14.

Задача 1.5.3.

На рис. 1.9 приведены схемы расчёта надёжности и характеристики надёжности элементов (таблица 1.3.). Необходимо найти вероятности безотказной работы изделий.

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 1.9

Таблица 1.3

№ задачи	Исходные данные
Структура	P1	Q1	P2	Q2	P3	Q3	P4	Q4	P5	Q5	P6	Q6
1.	а)	0,5		0,5			0,4		0,5	0,4			0,1
2.	б)	0,7		0,85		0,6			0,3	0,9			0,25
3.	в)		0,6		0,15	0,5		0,5			0,2	0,8
4.	г)	0,5		0,5		0,6		0,7		0,4		0,5
5.	д)	0,6		0,8		0,8			0,2	0,7		0,7
6.	е)		0,3	0,75			0,1	0,85			0,25	0,7
7.	а)		0,35	0,8			0,25	0,7			0,3	0,95
8.	б)	0,75		0,8			0,4	0,9		0,9		0,9
9.	в)		0,2		0,2	0,93		0,87		0,7		0,7
10.	г)		0,27	0,85		0,85		0,7		0,7		0,7
11.	д)	0,5		0,9		0,9		0,6			0,35		0,2
12.	е)	0,75		0,75			0,35	0,9			0,15		0,45
13.	а)		0,1	0,9			0,2		0,2	0,8		0,9
14.	б)	0,95		0,8		0,8			0,21	0,79		0,79
15.	в)	0,8			0,2	0,9		0,95			0,3	0,93
16.	г)	0,9		0,9		0,9			0,27		0,27	0,98
17.	д)	0,7		0,6		0,8			0,4		0,2		0,2
18.	е)	0,8		0,8			0,3		0,3	0,9		0,94
19.	а)		0,2		0,2	0,9		0,9		0,9			0,3
20.	б)	0,75			0,15		0,15	0,82		0,82		0,82
21.	в)	0,5		0,6			0,4	0,7		0,9		0,9
22.	г)		0,4		0,5		0,5	0,87		0,87		0,87
23.	д)		0,5		0,3		0,3	0,6		0,7		0,7
24.	е)	0,5		0,5			0,4	0,7			0,35	0,9
25.	а)	0,6		0,6			0,2		0,2	0,8		0,89
26.	б)	0,7		0,4		0,4		0,5			0,3	0,8
27.	в)	0,4		0,85		0,65		0,5			0,1	0,75
28.	г)	0,55			0,3		0,3		0,28		0,28		0,28
29.	д)	0,5		0,6		0,85		0,5		0,65			0,35
30.	е)		0,3		0,3	0,6		0,7		0,8		0,8

Задача 1.5.4.

АСУ рассчитанная на непрерывную работу в течение времени t, t=2 часа, имеет наработку на отказ Т₀= 200 ч. Определить, каким способом можно добиться большего значения вероятности безотказной работы: применив постоянное общее дублирование системы или более надёжные элементы так, чтобы средняя наработка до отказа системы повысилась до величины, равной средней наработке до отказа дублированной системы.

Задача 1.5.5.

Нерезервированная система управления состоит из n=600 элементов. Для повышения надёжности предполагается применить постоянное раздельное дублирование элементов. Чтобы приблизительно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы P_c(t)=0,95 в течение наработки t_i=15ч, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента.

Задача 1.5.6.

Система состоит из m+1, параллельно соединённых равнонадёжных подсистем, вероятность работы каждой из которых P(t)=0,9. Определить потребную кратность резервирования, чтобы вероятность безотказной работы была не ниже заданной (P_зад=0,95).

Задача 1.5.7.

Система состоит из четырёх блоков и выходит из строя при отказе любого одного блока. Известны значения средней наработки до отказа блоков, которые приведены в таблице 1.4. Блоки имеют экспоненциальное распределение наработки до отказа. Рассчитать среднюю наработку до отказа системы.

Таблица 1.4

№ задачи	Т1 час	Т2 час	Т3 час	Т4 час	№ задачи	Т1 час	Т2 час	Т3 час	Т4 час
1.					16.
2.					17.
3.					18.
4.					19.
5.					20.
6.					21.
7.					22.
8.					23.
9.					24.
10.					25.
11.					26.
12.					27.
13.					28.
14.					29.
15.					30.

Задача 1.5.8.

В вычислительном устройстве применено резервирование с дробной кратностью «два из трёх». Интенсивность отказов одного нерезервированного блока равна l₀=5´10^-3 I/ч. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы вычислительного устройства в течение наработки t=50 ч.

Задача 1.5.9.

Используя пороговую функцию для восстанавливающего органа (ВО) , показать:

1) ВО корректирует -1 ошибок типа ложной «1»;

2) ВО не корректирует ошибок типа ложной «1»;

3) ВО корректирует r- ошибок типа ложной «0»;

4) ВО не корректирует r- +1 ошибок типа ложной «0».

Задача 1.5.10.

Вероятность отказа по «1» неизбыточного линейного блока АСУ равна q₁. Определить, при каких значениях вероятности отказа по «0» q₀ целесообразно использовать ВО , а при каких (таблица 1.5).

Таблица 1.5

№ задачи	Исходные данные	№ задачи	Исходные данные
	0,01				0,02
	0,1				0,02
	0,01				0,02
	0,1				0,02
	0,2				0,02
	0,03				0,01
	0,1				0,01

Задача 1.5.11.

Для повышения надёжности логического устройства был использован ВО . Вероятность отказа по «1» неизбыточного блока равна q₁, вероятность отказа по «0» - q₀. определить вероятность отказа по «0» - Q₀, вероятность отказа по «1» - Q₁ и вероятность безотказной работы – P избыточного устройства. Определить также выигрыш по надёжности при использовании ВО (таблица 1.6).

Таблица 1.6

№ задачи	Исходные данные
	q0	q1
1.		0,1	0,001
2.		0,1	0,1
3.		0,001	0,1
4.		0,1	0,001
5.		0,001	0,1
6.		0,001	0,1
7.		0,1	0,001
8.		0,2	0,002
9.		0,2	0,2
10.		0,002	0,2
11.		0,2	0,002
12.		0,2	0,002
13.		0,002	0,2
14.		0,002	0,2
15.		0,15	0,2