Пусть случайная переменная Х(А) представляет функциональное отношение между случайным событием А и действительным числом. Для удобства записи обозначим случайную переменную через X, а ее функциональную зависимость от А будем считать явной. Случайная переменная может быть дискретной или непрерывной. Функция распределения Fx(х) случайной переменной X описывается выражением
Fx(x)=P(X≤ x), (4.4)
где Р(Х ≤ х) — вероятность того, что значение, принимаемое случайной переменной X, меньше действительного числа х или равно ему. Функция распределения Fx(x) имеет следующие свойства:
1.0 ≤ Fx(x) ≤ 1
2. Fx(x1) ≤ Fx(x2),если x1 ≤ x2
3. Fx( −∞ ) = 0
4. Fx( +∞ ) = 1
Еще одной полезной функцией, связанной со случайной переменной X, является плотность вероятности, которая записывается следующим образом:
. (4.5,а)
Как и в случае функции распределения, плотность вероятности — это функция действительного числа х. Название "функция плотности" появилось вследствие того, что вероятность события x 1 ≤ X ≤ x 2 равна следующему:
|
|
P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = P (X ≤ x 2) – P (X ≤ x 1) = (4.5,б)
= Fx(x 2 ) – Fx(x 1 ) =
.
Используя уравнение (4.5,6), можно приближенно записать вероятность того, что случайная переменная X имеет значение, принадлежащее очень узкому промежутку между х и х + Δ x:
. (4.5,в)
Таким образом, в пределе при Δ x, стремящемся к нулю, мы можем записать следующее:
. (4.5,г)
Плотность вероятности имеет следующие свойства:
1. px(х) ≥ 0
2.
Таким образом, плотность вероятности всегда неотрицательна и имеет единичную площадь. В тексте книги мы будем использовать запись рх(х) для обозначения плотности вероятности непрерывной случайной переменной. Для удобства записи мы часто будем опускать индекс X и писать просто р(х). Если случайная переменная X может принимать только дискретные значения, для обозначения плотности вероятности мы будем использовать запись р(Х=хi).
Основная литература 2 [38-50]; 6 [56-59].
Дополнительная литература 4[ 124-135], 5[ 266-277].
Контрольные вопросы:
1. Что такое автокорреляция;
2. Автокорреляция перидического сигнала;
3. Случайные сигналы дайте определение.