Каноническое уравнение эллипса:
. (14)
Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):
O – центр эллипса;
с – фокусное расстояние;
F 1(– c; 0), F 2(c; 0) – фокусы эллипса;
| А1А2 | = 2 a – длина большой оси;
а – большая полуось эллипса;
| B1B2 | = 2 b – длина малой оси;
b – малая полуось эллипса.
Для эллипса справедливо: c 2 = a 2– b 2.
Число называется эксцентриситетом эллипса .
Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).
В этом случае фокусы эллипса F 1(0; – c), F 2(0; c), эксцентриситет и справедливо c 2 = b 2 – a 2.
Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:
x 2 + y 2 = R 2 ,
где R= a= b.
В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .
Каноническое уравнение гиперболы:
. (15)
Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):
O – центр гиперболы;
с – фокусное расстояние;
F1 (– c; 0), F2 (c; 0) – фокусы гиперболы;
| А1А2 | = 2 a – длина вещественной оси;
а – вещественная полуось гиперболы;
|
|
| B1B2 | = 2 b – длина мнимой оси;
b – мнимая полуось гиперболы.
Уравнения асимптот гиперболы:
.
Для гиперболы справедливо: с 2 = a 2 + b 2.
Число называется эксцентриситетом гиперболы .
Канонические уравнения параболы.
Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:
х 2 = 2 ру. (16) Фокус F (0; ), уравнение директрисы: у = – . | |
Рис. 7. | |
х 2 = –2 ру. (17) Фокус F (0; – ), уравнение директрисы: у = . | |
Рис. 8. | |
у 2 = 2 рх. (18) Фокус F (; 0), уравнение директрисы: х = – . | |
Рис. 9. | |
у 2 = –2 рх. (19) Фокус F (– ; 0), уравнение директрисы: х = . | |
Рис. 10. |
Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).
Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O 1(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X 1 O 1 Y 1 будут (х 1; у 1), где
(20)
Примеры таких преобразований приведены в таблице 2.
Таблица 2.
В системе координат ХОY | В системе координат X 1 O 1 Y 1 |
Окружность с центром в точке O 1(α; β) и с радиусом R: | Каноническое уравнение окружности: |
Эллипс с центром в точке O 1(α; β): | Каноническое уравнение эллипса: |
Гипербола с центром в точке O 1(α; β): | Каноническое уравнение гиперболы: . |
Параболы с вершиной в точке O 1(α; β) или . | Канонические уравнения парабол: или |