Производная

Производной функции в точке х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента :

, (16)

где .

Другие обозначения производной: .

Если существует производная функции в точке х, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Дифференцирование функции – это процесс нахождения производной . При дифференцировании используют таблицу производных и правила дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций.

3.1. 1	4.1.	5.1.	6.1.
7.1. 2	8.1.	9.1. 10	10.1.
11.1. 3	12.1.	13.1. 11	14.1.
15.1. 4	16.1.	17.1. 12	18.1.
19.1. 5	20.1.	21.1. 13	22.1.
23.1. 6	24.1.	25.1. 14	26.1.
27.1. 7	28.1.	29.1. 15	30.1.
31.1. 8	32.1.	33.1. 16	34.1.
35.1. 9	36.1.	37.1. 17	38.1.

Основные правила дифференцирования.

1) Производная от постоянной равна нулю:

. (17)

2) Производная алгебраической суммы (u v) двух дифференцируемых функций и существует и равна алгебраической сумме производных этих функций:

(18)

3) Производная произведения двух дифференцируемых функций и существует и вычисляется по формуле:

. (19)

4) Производная отношения двух дифференцируемых функций и существует и вычисляется по формуле:

. (20)

5) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(21)

6) Производная от сложной функции: если , где f (z) и z (x) –дифференцируемые функции, то («правило цепочки»).

7) Производная от функции,заданной неявно: если функция задана уравнением , то для нахождения нужно продифференцировать обе части тождества по аргументу х и из полученного равенства найти как решение линейного уравнения.

8) Производная от функций , заданной параметрически: если где x (t), y (t) – дифференцируемые функции, то:

. (22)

Производные высших порядков:производная 2-го порядка: ,

3-го порядка: и т.д. Для обозначений производных высшего порядка используются также символы вида: . Производные 4 и более высоких порядков обозначаются при помощи римских цифр: . Производная n -го порядка обозначается , она получается n -кратным дифференцированием функции : .