П.3. Исследование функций и построение графиков

Полное исследование функции для построения ее графика включает следующие пункты (не обязательно именно в этом порядке).

1) Область определения функции (ООФ) и область ее значений (ОЗФ).

Если область определения функции не задана специально, то считают, что она совпадает с областью допустимых значений ее аргумента, т.е. с множеством всех точек х, для которых выполнима операция f. При нахождении ООФ используют ООФ элементарных функций , , , и др.

Область значений функции находят только в случаях, когда ее можно сразу указать, опираясь на свойства элементарных функций, например, для функции , очевидно, .

2) Четность функции, ее периодичность.

Для установления четности (нечетности) функции , имеющей симметричную область определения, проверяют справедливость равенств () для всех ООФ.

В случае четности или нечетности функции исследование ее поведения и построение графика можно проводить только для , а затем достроить график, используя симметрию: для четной функции график симметричен относительно оси OY, а для нечетной – относительно начала координат.

Для установления периодичности функции проверяют справедливость равенства для ООФ, где Т определяется видом функции. В случае периодической функции исследование проводят для одного промежутка периодичности.

3) Непрерывность функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты.

Для определения промежутков непрерывности функции используют непрерывность основных элементарных функций. В точках, «подозрительных» на разрыв (отдельных точек, не входящих в ООФ), проверяют выполнение условий непрерывности. Если функция терпит разрыв в точке х ₀, то определют тип разрыва.

Если функция имеет бесконечный разрыв в некоторой точке х ₀, то прямая х = х ₀ является вертикальной асимптотой графика функции. Если только один из односторонних пределов при х ₀– 0 или х ₀+ 0 является бесконечным, то асимптота называется односторонней.

Если функция определена не на всей числовой оси, то необходимо вычислить односторонние пределы функции в точках, ограничивающих промежутки ООФ. Если односторонний предел функции в точке а, ограничивающей промежуток ООФ, бесконечен, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции. Например, если ООФ: , то нужно найти ; если этот предел окажется бесконечным, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции.

4) Промежутки монотонности и экстремумы.

Для определения промежутков монотонности функции используют достаточный признак монотонности.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

если на интервале х Î(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если , то f (x) возрастает, если , то f (x) убывает.

Для установления точек экстремумов функции используют необходимый и достаточные признаки существования экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет экстремум в точке х ₀, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции по ее первой производной (точками, «подозрительными на экстремум»).

Первый достаточный признак существования экстремума: если при переходе через критическую точку х ₀ (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х ₀ есть экстремум причем это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х ₀ производная не изменяет свой знак, то в точке х ₀ нет экстремума функции .

Второй достаточный признак существования экстремума: если – дважды дифференцируемая функция в точке х ₀ и , тогда: если , то х ₀ – точка минимума функции, а если , то х ₀ – точка максимума.

Для нахождения точек экстремумов функции сначала находят критические точки по первой производной. После этого проверяют выполнение в них достаточных условий существования экстремума функции.

5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика и точки перегиба.

Дуга кривой L называется выпуклой, если все ее точки расположены не выше касательной, проведенной в любой точке этой дуги (рис. 27), и называется вогнутой, если все ее точки расположены не ниже касательной, проведенной в любой точке дуги кривой.

Точки, принадлежащие кривой, и отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости, называются точками перегиба кривой (рис. 27).

Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции: если функция является дважды дифференцируемой и ее вторая производная сохраняет знак при всех x Î(a; b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале: при <0 – выпуклость вверх, при >0 – вогнутость (выпуклость вниз).

Необходимое условие для точки перегиба: если х ₀ – абсцисса точки перегиба графика функции , то ее вторая производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются критическими точками функции по ее второй производной (точками, «подозрительными на перегиб»).

Достаточное условие для точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку х ₀, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х ₀ является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х ₀, то перегиба нет.

При нахождении промежутков выпуклости, вогнутости графика функции сначала находят критические точки по второй производной, после этого выделяют промежутки знакопостоянства второй производной на ООФ: если , то кривая вогнутая, а если , то кривая выпуклая. Точки перегиба определяют, используя достаточные условия перегиба.

6) Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние до которой от текущей точки М кривой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат (рис. 28).

Если график функции имеет наклонную асимптоту с уравнением , то параметры k и b в уравнении асимптоты можно найти по формулам:

, (26)

. (27)

Если хотя бы один из этих пределов является бесконечным или не существует, то наклонных асимптот нет. В случае, когда k = 0, график имеет горизонтальную асимптоту с уравнением y = b.

В некоторых случаях (как правило, если f (x) выражена через показательную или логарифмическую функцию), график может иметь асимптоты только при или только при .

Иногда ветви графика при и при имеют разные асимптоты.

7) Точки пересечения графика с осями координат или другие дополнительные точки графика.

Дополнительные точки графика находят в случаях, когда недостаточно информации для выбора масштаба по осям координат, т.е. когда на некотором промежутке ООФ нет ни точек экстремумов, ни точек перегибов, ни точек пересечения графика с осями координат.