Директрисы эллипса и гиперболы

Определение: Директрисами эллипса называются две прямые,

перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные

симметрично относительно центра на расстоянии от него.

Если эллипс задан каноническим уравнением (8), причём a b, то в выбранной системе координат его директрисы определяются уравнениями и (44).

Рис. 8

Т. к. для эллипса 0 ε 1, то a. Это означает, что директрисы эллипса не имеют с ним общих точек.

Определение: Директрисами гиперболы называются две прямые, перпендикулярные к большой оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии

от него.

Если гипербола задана каноническим уравнением (25), то в данной системе координат её директрисы определяются уравнениями (44).

Поскольку для гиперболы ε 1, то a. Это означает, что директрисы гиперболы не имеют с ней общих точек.

Рис. 9

Важное свойство директрис эллипса и гиперболы выражает следующая теорема.

Теорема. Отношение расстояния r произвольной точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию d этой точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная

Доказательство. Рассмотрим, например, левый фокус и левую директрису эллипса. Пусть ()М(х; у) – произвольная точка эллипса (рис. 8). Здесь

r = a + εx, d = – (– ) = x + .

Если ()М(х; у) – произвольная точка левой ветви гиперболы

(Рис. 9), то

r = – εx – a, d = – x – .

Свойство, выраженное вышеприведённой теоремой, может быть положено в основу определения эллипса и гиперболы.

Множество всех точек плоскости, для которых отношение расстояния r до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию d до фиксированной прямой (директрисы) есть – величина постоянная. Причём фигура оказывается эллипсом при 1 и – гиперболой при 1.