Общее уравнение для эллипса, параболы и гиперболы

Прямые линии условно можно считать линиями первого порядка. К кривым второго порядка относятся эллипс (частным случаем которого является окружность), гипербола и парабола. Кроме того, в некоторых случаях уравнение второй степени относительно переменных х и у может определять две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Эллипс, параболу и гиперболу открыл в IV веке до н. э. древнегреческий математик Ме́нехм[9] (др.-греч. Μέναιχμος, латинск. Menaechmus, ок. 380 до н. э. — ок. 320 до н. э.), пересекая разного вида конусы (остроугольный, прямоугольный и тупоугольный) плоскостью, перпендикулярной образующей.

Рис.8

В итоге Менехму удалось свести решение задачи об удвоении куба к нахождению точек пересечения двух парабол.

Более столетия конические сечения не имели собственных названий (указывали лишь способ получения кривых, например, эллипс — «сечение остроугольного конуса»). В истории науки они известны также как «триада Менехма».

Позднее свойства эллипса, параболы и гиперболы изучали многие, в том числе Архимед (др.-греч. Ἀρχιμήδης, 287 до н. э. — 212 до н. э.) и Евклид (др.-греч. Εὐκλείδης, ок. 300 г. до н. э.). Однако наиболее важных результатов добился Аполлоний Пергский (др.-греч. Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος, 262 до н. э. — 190 до н. э.). Он разработал общую теорию конических сечений, которую изложил в труде «Коника» (отсюда другое бытующее название рассматриваемых кривых — коники). Он же ввёл их современные названия: парабола, гипербола и эллипс.

Долгое время конические сечения не находили применения, пока ими всерьёз не заинтересовались астрономы и физики. Выяснилось, что эти линии встречаются в природе. В соответствии с первым законом Кеплера планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам. Кометы, попавшие в солнечную систему из мирового пространства, могут двигаться вокруг Солнца либо по эллипсам, либо по параболам, либо по гиперболам в зависимости от значения скорости, с которой комета приближалась к солнечной системе. Вспомним, наконец, хорошо известные из физики законы Ома[10] и Бойля-Мариотта[11].

Тесная связь конических сечений друг с другом наводит на мысль о возможности описания их единой формулой. Проще всего это достигается при использовании полярной системы координат.

Пусть γ – дуга (рис.9) эллипса, гиперболы или параболы. Если r – расстояние произвольной точки М этой дуги до фокуса F, а d – её расстояние до соответствующей директрисы, то в силу теоремы из §10 и определения параболы

(48).

Проведём через фокус F прямую, перпендикулярную директрисе m. Точку их пересечения обозначим буквой А, а проекцию точки М на эту прямую – буквой N.

Из точки F восставим перпендикуляр к прямой AN (оси кривой γ) и обозначим буквой Р точку её пересечения с дугой γ. Длину отрезка РF обозначим буквой р (т. е. РF = р) и назовём её фокальным параметром линии γ.

Пусть ρ и φ – полярные координаты точки М в системе координат с полюсом в точке F и полярной осью FN, тогда

r = р (49),

d = QM = AN = AF + ρ cos φ (50).

Рис. 9

Равенство (45) выполняется для всех точек линии γ, в том числе и для точки Р, поэтому

Следовательно,

+ ρ cos φ (51).

Подставляя выражения (49) и (51) в равенство (48) и преобразуя его, получаем

Ρ = (52).

Уравнение (52) называется полярным уравнением эллипса, параболы и гиперболы. Следует только отметить, что это уравнение определяет одну из двух ветвей гиперболы.

Для параболы фокальный параметр совпадает с параметром , входящим в уравнение (46), а для эллипса и гиперболы, заданных

соответственно уравнениями (22) и (25), он выражается формулой

(53).

[1] Канонический [др.- греч. κανονικως – установленный правилом] – принятый за образец; основанный на законе.

[2] Эллипс – от греческ. ελλειψις – недостаток (смысл применения такого термина будет пояснён ниже).

[3] Фокус – латинское слово, означающее «очаг». Если в одном из фокусов поместить источник света, то, отражаясь от эллипса, лучи соберутся в другом его фокусе.

[4]Эксцентриситет – от латинских ex – вне и centrum – центр. Т. е. этот латинский термин в случае дословного перевода звучал бы как «внецентровость».

[5] Пара́метр – [от др.-греческ. παραμετρών – отмеривающий] – переменная величина.

[6] Гипе́рбола – от др.-греческ. υπερβολή – избыток, преувеличение.

[7] Если в одном из фокусов гиперболы поместить источник света, то после отражения от гиперболы лучи образуют расходящийся пучок (с центром в другом фокусе).

.

[8] Директриса – от французского слова directrice, образованного из позднелатинского directrix – направляющая.

[9] По преданию Менехм был одним из учителей Александра Македонского.

[10] Закон Ома:Сила тока в участке цепи(прямо пропорциональна напряжению и) обратно пропорциональна электрическому сопротивлению данного участка цепи.

[11] Закон Бойля-Мариотта: Давление некоторой массы газа, находящегося при постоянной температуре, обратно пропорционально его объёму.