Примеры решения задач. Задача 1. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a=300, находится груз массой m2=2кг

Задача 1. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a=30⁰, находится груз массой m₂=2кг. К грузу привязан легкий шнур, перекинутый через блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. К другому концу шнура подвешена гиря массой m₁=20кг. Предоставленная самой себе, система приходит в равноускоренное движение. Определите ускорение грузов и силу давления на ось блока при условии, что коэффициент трения между грузом и плоскостью равен m=0,1. массу блока не учитывать.

Дано: a=30⁰; m₁=20кг; m₂=2кг; m=0,1; =const

Найти: F _д –?

Решение:

Укажем внешние силы, действующие на каждое из тел системы. Очевидно, гиря будет опускаться, а груз будет подниматься по наклонной плоскости. Рассмотрим движение гири. На гирю действует сила тяжести и сила натяжения шнура . Поскольку гиря опускается ускоренно, то

На груз действует сила тяжести , сила натяжения шнура , сила трения и нормальная реакция опоры . Выберем систему отсчета – наклонную плоскость и связанную с ней систему координат. Ось О_х направим вдоль наклонной плоскости в сторону движения груза, ось О_у – перпендикулярно наклонной плоскости. Под действием приложенных сил груз массой m₂ ускоренно поднимается по наклонной плоскости, поэтому основное уравнение динамики в проекциях на ось О_х имеет вид:

Так как груз и гиря связаны между собой, то а₁=а₂=а и Т₁=Т₂=Т

Сила трения, равная , отсутствует в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости (О_у), поэтому

По условию задачи масса блока не учитывается, поэтому на него действует только две силы натяжения со стороны шнура () и нормальная реакция опоры N₁ со стороны оси. Согласно третьему закону Ньютона блок действует на ось с такой же по модулю силой, но направленной в противоположную сторону. Эту силу нам надо определить.

Под действием приложенных сил блок находится в равновесии: его ускорение равно нулю . Как видно из рис., диагональ параллелограмма равна, построенного на и , равна по модулю

Следовательно

Составим систему уравнений для неизвестных величин: Т, а, N, N₁

Решая эту систему относительно а, N₁ получим

Проверим размерность:

Вычисляем: а=4 м/с²; F _д =202Н

Задача 2. Материальная точка колеблется согласно уравнению , где А =5см, w=p/12 с^-1. Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значение -12мН, потенциальная энергия Е_р точки оказывается равной 0,15мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу wt.

Дано: ; А =5см=5^.10^-2м; w=p/12с^-1; F=-12мН=-1,2^.10^-2Н; Е_р=0,15мДж=1,5^.10^-3Дж

Найти: t, wt –?

Решение: Материальная точка совершает гармонические колебания под действием силы упругости равной

– коэффициент жесткости.

Потенциальная энергия точки

Составим отношение отсюда время

Фаза к моменту времени

Проверка размерности:

Вычисляем:

Задача 3. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.

Дано:

Найти: U –?

Решение: Согласно специальной теории Эйнштейна,

; – продольный размер в системе отсчета, относительно которой электрон движется со скоростью ; – продольный размер электрона в системе отсчета, связанной с ним. Подставляем значение l

В ускоряющем электрическом поле электрон получает кинетическую энергию, равную

С другой стороны, согласно СТО

Следовательно

Проверяем размерность

Вычисляем:

Задача 4. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью n=10м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А=5см., период колебаний Т=1с. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии х₁=9м от источника колебаний в момент времени t₁=2,5с.

Дано: n=10м/с; А=5см=0,05м; Т=1с; х₁=9м; t₁=2,5с.

Найти:

Решение: Запишем уравнение волны

Круговая частота и длина волны связаны с периодом , их выражение для w подставляем в уравнение волны

Аргумент косинуса в момент времени есть фаза колебаний в этот момент: .

Смещение в момент

Производная от по времени есть скорость точки

и в момент на расстоянии –

Берем еще раз производную от скорости и находим ускорение этой точки

Проверка размерности:

Вычисляем:

Задача 5. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1, и угол между их направлениями разлета . Найти отношение масс этих частиц.

Дано: ,

Найти: –?

Решение:

Обозначим скорости после столкновения через

Из уравнения следует, что скорость второго тела

Возведем в квадрат первое уравнение системы, предварительно разделив его на массу , а второе разделим на .

Решаем систему и получаем следующее уравнение:

так как , то ,

откуда .

Вычисляем:

Ответ: .

Задача 6. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J =1,5кг^.м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t=1мин уменьшил частоту своего вращения с n₀=240об/мин до n₁=120об/мин. Определите:

1) угловое ускорение маховика ε; 2) момент силы торможения; 3) работу торможения

Дано: J =1,5кг^.м²; t=1мин=60с; n₀=240об/мин=4об/с; n₁=120об/мин=2об/с

Найти: ε; М; А –?

Решение: Угловая скорость при равнозамедленном движении (1)