Часть 1. Решение типовых задач

6 7 8 9 10 11 12

Задача 1. Вычислить предел последовательности с общим членом

используя теорему о пределе монотонной последовательности.

Решение. Сначала исследуем последовательность на монотонность. Для этого преобразуем выражение для :

Вычислим пределы второго и третьего множителя полученного произведения:

{ (1) – знак предела можно вносить под знак элементарной функции ;

(2) – второй замечательный предел };

{ (1) – последовательность – бесконечно малая, как эталонная, последовательность – бесконечно малая, как произведение постоянной и бесконечно малой;

(2) – и теорема о пределе частного }

Итак, для данной последовательности имеем рекуррентное соотношение

(1)

где { теорема о пределе произведения }.

Так как предел последовательности меньше 1, то и члены последовательности, начиная с некоторого номера , удовлетворяют тому же неравенству: . Очевидно, что члены данной последовательности положительны, поэтому из (1) получаем:

Таким образом, последовательность ограничена снизу и убывает, начиная с некоторого номера. Следовательно, по теореме о пределе монотонной последовательности { всякая ограниченная монотонная последовательность имеет конечный предел } существует

Перейдем к пределу в рекуррентном соотношении (1):

Предел, стоящий в левой части этого равенства также равен , т.к. пробегает те же значения, что и (с точностью до 1^го члена). Для вычисления предела, стоящего в правой части, имеем право воспользоваться теоремой о пределе произведения { предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению их пределов }

Итак, имеем

Отсюда получаем .

Ответ:

Задача 2. Вычислить предел последовательности с общим членом

Решение. Каждую дробь-слагаемое в выражении для можно представить в виде суммы (или разности) дробей. Для этого знаменатель дроби разложим на множители (предварительно найдя корни соответствующего квадратного уравнения):

После этого можем записать Чтобы найти коэффициенты и , приведем сумму дробей к общему знаменателю и приравняем числители полученной дроби и исходной:

Равенство числителей есть не что иное, как тождественное равенство двух многочленов (от переменной ). Отсюда следует, что соответствующие коэффициенты этих многочленов равны. Получаем систему:

Решив ее, получаем:

Итак, каждое слагаемое в выражении для можно записать в виде разности 2^х дробей

Тогда для общего члена данной последовательности имеем:

Теперь легко найти искомый предел

{последовательность с общим членом является бесконечно малой, ибо

а – эталонная бесконечно малая;

аналогично и также бесконечно малая}.

Ответ: .

Задача 3. Найти предел последовательности с общим членом

Решение. В записи для каждое из слагаемых не меньше последнего слагаемого и не больше первого. Поэтому, заменяя каждое из слагаемых первым или последним, получим для общего члена данной последовательности двойную оценку

Вычислим пределы крайних членов этого двойного неравенства:

Используя достаточное условие сходимости делаем вывод: .

{Достаточное условие сходимости: если члены трех последовательностей удовлетворяют неравенству и последовательности и имеют один и тот же предел , то и последовательность имеет “число” своим пределом }.

Ответ:

Задача 4. Доказать сходимость последовательности с общим членом

Решение. Учитывая запись для общего члена

получим рекуррентное соотношение , из которого следует неравенство . Итак, данная последовательность монотонно возрастает. Далее, учитывая, что , получим для каждого слагаемого в выражении для оценку

Отсюда нетрудно получить оценку и для

Итак, данная последовательность ограниченная. Учитывая доказанную выше монотонность, можно сказать: на основании теоремы о пределе монотонной последовательности данная последовательность имеет конечный предел, т.е. сходится, что и требовалось доказать.

Задача 5. Вычислить предел последовательности с общим членом

Решение. Данная последовательность есть произведение двух последовательностей с общими членами

Известно, что значит . Следовательно, (в силу монотонности логарифмической функции). Другими словами, последовательность – ограничена. Последовательности преобразуем таким образом:

К выражению, стоящему в скобках, можно применить эквивалентность для степенной функции, а именно:

при .

В нашем случае , а при . Итак, Отсюда следует, что { При вычислении пределов произведений и частных каждый член произведения или частного можно заменять эквивалентным ему выражением }.

Таким образом, – бесконечно малая и данная последовательность есть произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой . Следовательно, – бесконечно малая { Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая }.

Замечание. Тот факт, что есть бесконечно малая, можно доказать и другим способом: путем умножения и деления на выражение сопряженное , т.е. на . Однако, прием, использованный при решении задачи, применим к корням любой степени.

Ответ:

Задача 6. Вычислить пределы

a) ; b) .

Решение. a) В данном пределе переменная не стремится к нулю и использование эквивалентностей затруднительно. Поэтому вводим новую переменную которая стремится к 0 при . Тогда и предел принимает вид:

Числитель преобразуем используя свойства логарифмов, а в знаменателе применим формулу приведения:

Предел принимает вид

Теперь можно использовать эквивалентности для логарифма и косинуса, а именно: при

Окончательно имеем

Замечание. Вообще говоря, из эквивалентности не следует эквивалентность т.е. использование эквивалентностей под знаком функций недопустимо. Однако, если – степенная функция, этот запрет недействителен в силу непрерывности степенной функции и одного из свойств степени:

b) Функция, стоящая под знаком предела – сложная степенно-показательная функция. Для работы с такой функцией используют основное логарифмическое тождество

и непрерывность показательной функции

Имеем в нашем случае:

Чтобы воспользоваться эквивалентностью для логарифма ( при ), запишем выражение, стоящее под знаком в требуемой форме

Теперь при и поэтому

Эквивалентность для показательной функции имеет вид

при .

Тогда т.к. при . Итак, имеем для логарифма при . Кроме того,

при

(в силу эквивалентности для тангенса при ). Окончательно имеем

Ответ: a)

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию

Показать графически поведение функции в окрестностях точек разрыва.

Решение. Данная функция – элементарная, поэтому непрерывна в любой точке, входящей в область определения с некоторой окрестностью. Точками же разрыва являются точки, не входящие в область определения, но такие, в окрестности которых функция определена. Область определения этой функции

Итак, точки разрыва – это и

Выясним характер точек разрыва, для чего вычислим односторонние пределы данной функции в каждой из этих точек.

Т.к. в точке существуют конечные, но не равные односторонние пределы, то эта точка является точкой разрыва 1^го рода.

Т.к. найденный левый предел функции равен бесконечности, то и без вычисления правого предела можно сказать, что точка – это точка разрыва 2^го рода { точка называется точкой разрыва 2^го рода, если хотя бы один из пределов и равен бесконечности или не существует }. Однако, для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо найти и правый предел. Нетрудно видеть, что

Графическое изображение поведения функции в окрестностях точек разрыва:

Ответ: Данная функция непрерывна на (как элементарная); в точке она имеет разрыв 1^го рода (скачок), в точке – разрыв 2^го рода (бесконечный разрыв).

Задача 8. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Данная функция, вообще говоря, не является элементарной, ибо задана несколькими аналитическими выражениями, а не одним. Поэтому она может иметь разрывы и в точках, принадлежащих ее области определения. Однако, каждое из 3^х выражений, которыми задана функция, является элементарным, а следовательно и непрерывным на своей области задания. Поэтому точками разрыва могут быть лишь точки, в которых функция меняет одно выражение на другое. Итак, возможные точки разрыва данной функции – это точки и . Исследуем эти точки.

Односторонние пределы существуют, конечны, но различны по величине, следовательно – точка разрыва 1^го рода. Говорят, что функция имеет в точке скачок равный .

Совпадение односторонних пределов означает, что предел функции в т. существует, причем Вычислим еще и значение функции в точке :

Т.к. , то делаем вывод: данная функция непрерывна в т. (по определению).

Ответ: Данная функция непрерывна всюду за исключением точки , в которой она имеет разрыв 1^го рода.

Задача 9. Построить график функции

и указать ее точки разрыва.

Решение. При каждом фиксированном последовательность есть эталонная типа . Её поведение зависит от величины , а именно: при – это бесконечно малая последовательность, а при – бесконечно большая. Таким образом, для , т.е. для , имеем:

Далее, пусть , т.е. . Тогда

(очевидно, что, если , то и ). Остается рассмотреть случай , т.е. . В этом случае

{предел постоянной равен ей самой}. Итак, окончательно имеем:

График имеет вид

Ответ: Функция непрерывна всюду, за исключением точек , в которых она имеет разрыв 1^го рода.

Задача 10. Функцию

исследовать на: 1) непрерывность; 2) дифференцируемость; 3) непрерывную-дифференцируемость.

Решение. 1) Данная функция может иметь разрыв лишь в точке (см. задачу 8). Для функция имеет в этой точке разрыв 2^го рода, ибо представляет собой произведение множителя , который не имеет предела при , и постоянной () или бесконечно большой ().

Для функция является бесконечно малой при , как произведение эталонной бесконечно малой и ограниченной . Значит, для

что означает непрерывность в т. .

2) Исследуем функцию на дифференцируемость, то есть на существование конечной производной.

Для значений производную вычисляем используя правила дифференцирования и таблицу производных:

Это выражение для справедливо для любых значений параметра.

Производную в нуле вычисляем по определению (нельзя писать , ибо значение 0 функция принимает в одной точке , а не в некоторой ее окрестности):

Ситуация с этим пределом аналогична рассмотренной в предыдущем пункте: при искомая производная равна 0, а при – не существует.

Итак, для

3) Исследуем производную на непрерывность. Возможная точка разрыва – .

Если , то этот предел равен 0, т.е. равен , что означает непрерывность производной в нуле. Если же , данный предел не существует (выражение в скобках не имеет предела из-за ).

Замечание. Производную можно вычислить не по определению, а применив теорему о пределе производной: если существует для и если существует , то существует и правая производная в т. , причем (аналогичное утверждение справедливо и для левой производной). Для данной функции эта теорема срабатывает при . Для приходится пользоваться определением при вычислении .

Ответ: 1) Функция непрерывна всюду при . При имеем разрыв 2^го рода в точке .

2) Функция дифференцируема всюду при , при этом

3) Функция непрерывно-дифференцируема при .

Задача 11. Найти для функций, заданной параметрически и неявно:

а) b)

Решение. a) Если функция задана параметрически уравнениями

то её производная задается следующей системой параметрических уравнений

В нашем случае:

Поэтому искомая производная имеет вид:

b) При вычислении производной функции, заданной неявно, используют следующие соображения.

При некоторых условиях на выражения с двумя переменными (эти условия рассматриваются в теме “Функции нескольких переменных”) уравнение вида

разрешимо относительно переменной . Это означает следующее: существует дифференцируемая функция такая, что имеет место тождество

в некотором интервале изменения переменной . Дифференцируя это тождество по переменной , получим соотношение, из которого легко находится искомая производная . Ясно, что подобные рассуждения применимы и для уравнений вида .

Итак, считая, что в данном уравнении и рассматривая его как тождество, получим:

Отсюда и получаем

Ответ: a) b)

Задача 12. Найти производную -го порядка функции

Решение. По определению производная -го порядка – это производная от производной -го порядка:

Вычислим производные 1^го, 2^го, 3^го порядка и попытаемся уловить закономерность:

Можно предположить, что

и, вообще,

(*)

Чтобы доказать истинность нашего предположения, найдем производную -го порядка, считая, что формула (*) верна.

Нетрудно заметить, что это выражение для можно получить из (*) заменив на . Это и доказывает верность формулы (*).

Замечание 1. Формула (*) верна для .

Замечание 2. Для произведения всех нечетных чисел от 1 до принято обозначение . Таким образом, .

Ответ:

Задача 13. Раскрыть неопределенности:

a) ; b) c) .

Решение. Сделаем несколько общих замечаний о применении правила Бернулли-Лопиталя.

1. Правило Бернулли-Лопиталя вычисления предела отношения двух бесконечно больших или бесконечно малых функций состоит в замене отношения функций отношением их производных.

2. Это правило применимо лишь к неопределенностям вида или , а неопределенности других типов () необходимо сводить к этим двум.

3. Иногда для раскрытия неопределенности приходится применять это правило последовательно несколько раз.

4. На каждом этапе применения правила Бернулли-Лопиталя следует пользоваться тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с другими приёмами вычисления пределов (замена переменной, эквивалентности и т.п.).

Перейдем к вычислению пределов:

Вычислим отдельно:

Значит, .

При вычислении этого предела последовательно использованы: основное логарифмическое тождество; непрерывность функции замена переменной; формулы приведения; эквивалентность преобразование неопределенности в неопределенность правило Бернулли-Лопиталя; тождественные преобразования; эквивалентность

Задача 14. Найти асимптоты графика функции

Решение. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты (правда, горизонтальные можно считать частным случаем наклонных).

Прямая является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен , т.е. вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва 2^го рода. Данная функция является элементарной и единственной точкой разрыва является точка , которая не принадлежит . Вычислим :

Правый предел функции бесконечен, следовательно, прямая – вертикальная асимптота.

Далее, прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при , если существует конечный предел

Для упрощения вычисления пределов запишем данную функцию следующим образом:

При вычислении пределов пользуемся эквивалентностью для степенной функции и тем фактом, что . Имеем:

Итак, прямая – горизонтальная асимптота при . При горизонтальной асимптоты нет, но может быть наклонная.

Прямая является наклонной асимптотой при , если существуют конечные пределы

(Аналогичное утверждение справедливо и для ). Для нашей функции имеем:

Итак, прямая – наклонная асимптота графика данной функции при .

Ответ: асимптотами графика функции являются прямые (при ) и (при ).

Задача 15. Провести исследование и построить график функции

Решение. Общее исследование функции и построение графика удобно выполнять по следующей схеме:

I. Найти область определение функции, область непрерывности и точки разрыва, вычислить односторонние пределы в точках разрыва, выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

II. Найти асимптоты графика функции.

III. Вычислить производные 1^го и 2^го порядка и найти критические точки 1^го и

2^го порядка.

IV. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

V. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

VI. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

VII. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Заметим, что для большей точности графика рекомендуется находить касательные в точках пересечения графика с осями координат и в точках перегиба, а также односторонние касательные в угловых точках графика (см. ниже).

Руководствуясь указанной схемой, проведем исследование данной функции.

1) Область определения т.к. логарифмы неположительных чисел не существуют. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Она непрерывна всюду на (как элементарная). точка – точка разрыва. Выясним тип разрыва:

Таким образом, – точка разрыва 2^го рода.

2) Полученный в пункте 1) результат позволяет утверждать: прямая – вертикальная асимптота (единственная). Выясним, имеет ли график горизонтальную асимптоту:

Итак, прямая (ось абсцисс) – горизонтальная асимптота.

3) Вычисляем производные, предварительно освободив запись функции от знака модуля:

Находим критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых соответствующая производная равна 0 или не существует. Точки 1^го порядка:

И так как , то не существует, т.е. точка – критическая точка.

Точки 2^го порядка:

не существует, ибо не существует, т.е. точка – критическая точка и 2^го порядка.

Отметим, что точка графика , в которой существует различные односторонние касательные (их угловые коэффициенты равны соответствующим односторонним производным) называется угловой точкой.

4-5) Критические точки разбивают область определения на интервалы знакопостоянства производных. Знаки же производных позволяют определить интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости, а именно: а) если на , то возрастает, если же , то убывает; б) если на , то график функции направлен выпуклостью вниз, если , то выпуклостью вверх.

Составим сводную таблицу знаков производных. Первая строка изображает с отмеченными критическими точками как 1^го, так и 2^го порядка. Во 2^й и 3^й указаны знаки производных в интервалах, на которые критические точки разбили . В 4^й строке – графическое изображение поведения функции.


	-		+		-		-
	+	не сущ.	-	-	-		+
верт. ас.		перегиб				перегиб

Анализ показывает, что функция убывает в интервалах и , и возрастает в интервале ; – точка минимума, , а – точка максимума, . Далее, график функции является выпуклым вниз на интервалах и , и выпуклым вверх на интервале ; точки графика и – точки перегиба.