Некоторые положения механики Ньютона

Если положение точки на оси в момент времени t характеризуется функцией x(t), то характеристика движения x(t), x'(t), x''(t), x'''(t), ….согласно Ньютону не являются независимыми. При этом справедлив закон

mx''=f(t,x(t),x'(t)), (2.1)

выражающий зависимость вторых производных от x и x'. В этом смысл и основное содержание закона. Очевидно, что дополнив уравнение движения(2.1) начальными условиями x(t₀), x'(t₀), получаем возможность определения x(t), что полностью решает задачу. Однако возможна иная постановка вопроса: каковы общие закономерности, присущие всякому движению, определяемому уравнением(2.1). Или какова иная форма записи универсального закона (2.1), имеющая более широкие рамки, чем (2.1). В простом случае уравнение движения

mx''=F(x(t)), (2.2)

формально вводится потенциал силы

U(x(t))= ,

кинетическая Т и полная энергия Е

T(x(t))= mx'²(t)/2,

E=T+U. (2.3)

Производная по времени от полной энергии

dE/dt=dT/dt+dU/dt=(dT/dx')x'' +(dU/dx)x'=(mx'' –F)x'=0.

Таким образом, для уравнения движения (2.2) справедлив закон сохранения энергии Е, согласно которому

dE/dt=0

и E=E₀ =const, хотя кинетическая и потенциальная со временем изменяются. Отсюда следует вывод об эквивалентности задачи отыскания минимума полной энергии (2.3) и задачи Коши для уравнения (2.2). Возникает естественный вопрос о формулировке вариационного принципа для уравнения (2.1) и определения условий, при которых оказываются справедливыми аналоги закона сохранения (2.3), отражающего физический характер уравнения (2.1).