2015-02-04
723
Использование формализма, в рамках которого уравнения движения записываются в форме Коши, удобной для использования, рассматривается далее. Для этого вместо определяющих движение частицы параметров x и x' вводятся новые канонические координаты q(t) и импульсы p=∂L/∂q'. Если в качестве q(t) взять x(t), то получается в качестве p(t) обычный импульс mx'. Но это совсем не обязательно и использование канонических координат q, через которые выражаются координаты x и вариации dx, является идеей Лагранжа. При введении функции Гамильтона
H(p,q,t)=pq' – L(q',q,t)| q' →p (2.6)
и вычислении ее дифференциала, получим:
dH= (∂H/∂p)dp + (∂H/∂q)dq +(∂H/∂t)dt =
=pdq'+q'dp–(∂L/∂p)dp-(∂L/∂q)dq-(∂L/∂t)dt
=pdq'+q'dp–(∂L/∂q')dq'-(∂L/∂q)dq-∂L/∂t)dt=
=q'dp – (∂L/∂q)dq -(∂L/∂t)dt).
Два средних члена дают ноль, поскольку
Производная функции Лагранжа по координате есть сила
Откуда следуют равенства:
∂H/∂p = q';
∂H/∂q = -∂L/∂q;
∂H/∂t = -∂L/∂t.
В новых переменных уравнение Лагранжа(1.5) принимает форму:
|
|
|
d(∂L/∂x')/dt - ∂L/∂x = p' +∂H/∂q =0;
p' = -∂H/∂q.
Таким образом, в гамильтоновой механике центральное место занимают канонические координаты q, импульсы p, гамильтониан H(p,q,t) и уравнения Гамильтона
q' =∂H/∂p;
p' = -∂H/∂q. (2.7)
имеющие форму Коши, когда левые части являются первыми производными искомых величин, а правые - их функции.
По определению, плоскость переменных p, q называется фазовой. Решение уравнений Гамильтона(2.7) p(t), q(t) образует на фазовой плоскости однопараметрическое семейство кривых - фазовый портрет.
