Принципы механики Лагранжа

В рассмотрение вводится функция Лагранжа

L(x, x')=T-U

и функционал действия

S= . (2.4)

Вариация dS, соответствующая бесконечно малой вариации dx:

dS = = = =

= -

Поскольку

d(∂L/∂x')dt-∂L/∂x=(mx')'-F=0, dx(t₀)= dx(t₁)=0,

то уравнение движения(2.2) является уравнением Эйлера для функционала действия(2.4) и задача отыскания минимума функционала оказывается эквивалентной задаче Коши для (2.2). Итак, первичным в механике Лагранжа является задание лангранжиана L и вычисление действия S. Принцип Лагранжа, состоящий в минимизации S на истинном движении по траектории x(t), приводит к уравнению Лагранжа.

d(∂L/∂x')dt-∂L/∂x=0. (2.5)

Это и есть уравнение второго порядка, определяющее движение объекта.