Графическая интерпретация случайных величин и построение гистограмм

При обработке результатов экспериментальных исследований для их наглядности и дальнейшего анализа более удобно переходить к графическому представлению. Наиболее распространенным способом графического представления является построение гистограммы распределения случайной величины, которое выполняется по следующей методике:

- определяются максимальное x_max и минимальное x_min значение показателей выборки;

- находится размах ∆x случайной величины, представляющий собой разность между ее максимальным и минимальным значениями ∆x = x_max - x_min;

- определяется количество интервалов, которое должно стремиться к числу

- определяется величина интервала:

- подсчитывается количество наблюдений n_j, находящееся в каждом интервале;

- вычисляются частоты попадания наблюдений в каждый интервал

j = 1, 2, …, k.

При этом очевидным является следующее соотношение:

По значениям n_j строят гистограмму, показывая по оси абсцисс интервалы разбиения выборки, а по оси ординат - количество попавших в интервалы данных, представляя последние графически в виде «столбиков» от основания соответствующих интервалов.

С помощью полученной закономерности в форме гистограммы можно осуществлять прогноз. Например, число автомобилей потребующих замены тормозных колодок, которые достигнут предельного состояния износа в заданном интервале пробега.

Для примера рассмотрим построение гистограммы для выборки значений пробега автомобиля до износа колодок, приведенной в таблице 1 (единица измерения - тыс.км).

Таблица 1.

Для начала по данным таб. 1. определяем максимальное и минимальное значение пробега L.

Находим размах

Определяем необходимое число интервалов

Определяем величину интервала

и строим интервалы

Определяем количество наблюдений в каждом интервале n_j и частоты попадания наблюдений в каждый интервал p_j.

По граничным значениям интервалов и количеству попадания в них экспериментальных данных n_j строим гистограмму распределения (рис.10). В другом масштабе и обозначениях величин для оси ординат эта гистограмма одновременно отражает опытные (эмпирические) частоты (вероятности) p_j попадания случайной величины в заданные интервалы.

Для того, что бы определить число автомобилей, потребующих замены тормозных колодок в заданном интервале пробега надо определить площадь гистограммы ограниченную заданным интервалом и отнести ее к суммарной площади под ступенчатым графиком. Полученное значение покажет число автомобилей в долях единицы. Далее необходимо умножить это значение на полное число автомобилей. Такой расчет более удобно проводить с помощью интегральной функции распределения, которая будет рассмотрена ниже.

Гистограмма позволяет получить представление о законе распределения случайной величины, являющимся ее наиболее полной характеристикой. Графически указанный закон наиболее информативно представлять в виде кривой распределения в дифференциальной форме, отражающей так называемую плотность распределения. Теоретически кривая плотности получается при обработке бесконечно большого количества данных, т.е. когда N→∞, при этом ширина интервала δ→0, т.е. основание столбика обращается в точку, а столбик вероятности p_j при графическом представлении - в прямую линию соответствующей высоты f_j, характеризующую плотность вероятности для данной точки диапазона рассеяния случайной величины. При слиянии верхние точки прямых линий графически образуют кривую линию, отражающую функцию плотности распределения случайной величины, которая может быть описана соответствующими математическими выражениями. Именно математическое описание закона является универсальным представлением свободной величины, поскольку отражает все ее свойства, а графическая интерпретация функции дает практически наглядное представление об этом законе и его свойствах. Приближенное представление о кривой можно получить, соединив плавной линией середины высот столбиков гистограммы; более точное представление требует дополнительных расчетов расчетов.