Оценка случайных погрешностей эксперимента

Случайным называется событие, которое при осуществлении определенного комплекса условий может произойти или может не произойти. При проведении повторных измерений из множества возможных причин отклонение результата измерения от истинного значения так же может иметь место или не иметь.

Оценка случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки. В основе теории случайных ошибок лежит предположение о том, что:

- при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений;

- случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

- большие погрешности встречаются реже, чем малые;

- появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.

При анализе случайных погрешностей используется интервальная оценка с помощью доверительной вероятности. Доверительным интервалом называется интервал значений x_i, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение x_д измеряемой величины. Вероятность того, что истинное значение x_д находится в данном доверительном интервале, называется доверительной вероятностью измерения P_д. Наиболее часто доверительная вероятность P_д принимается равной 0,90; 0,95; 0,99. Доверительный интервал характеризует точность измерений данной серии, а доверительная вероятность – достоверность измерений.

Доверительная вероятность через функцию Лапласа описывается выражением

Отношение доверительного интервала к среднеквадратичному отклонению называют гарантийным коэффициентом

или

При небольшом числе измерений (n<30) доверительный интервал μ рассчитывается из выражения:

где – значение критерия Стьюдента, выбираемое в зависимости от принятой доверительной вероятности P_д и числа измерений; σ₀ - среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения σ, которое определяется по формуле:

Если расчетная величина доверительного интервала соизмерима с погрешностью прибора и , то границы доверительного интервала определяются из выражения:

где t_∞ - табличное значение критерия Стьюдента (см. Приложение 3) при заданной доверительной вероятности P_д и бесконечно большом числе измерений n = ∞.

Доверительный интервал, характеризуя точность измерений, позволяет вычислить действительное значение измеряемой величины:

Относительная погрешность серии измерений при заданной доверительной вероятности определяется по формуле:

Пример. Определить истинное значение и относительную погрешность серии из 10 измерений при доверительной вероятности 0,95 и погрешности прибора 0,1%. Результаты измерений приведены в табл. 1.

Таблица 1 - Данные измерений.

№ опыта
	133,9	134,1	135,1	133,3	134,8	135,7	134,3

Статистические характеристики рассчитываются по формулам

Анализируем серию на наличие грубых ошибок:

x_max = 135,7; x_min = 133,3;

Для Р_д = 0,95 и n = 10 находим в таблице распределения статистического критерия: β_max = 2,29. Сравнение статистических критериев показывает отсутствие грубых ошибок.

Для Р_д = 0,95 и n = 10 по таблице находим критерий Стьюдента t = 2,26.

Определяем величину доверительного интервала: