Дисперсионный анализ. В научных исследованиях часто требуется оценка достоверности влияния на исследуемый процесс фактора (или их комбинации)

В научных исследованиях часто требуется оценка достоверности влияния на исследуемый процесс фактора (или их комбинации), который может быть учтен лишь качественно. Решение такой задачи обеспечивает применение дисперсионного анализа.

Однофакторный дисперсионный анализа предусматривает сравнение двух серий измерений какого-либо параметра одного и того же процесса. Одна из серий принимается в качестве базовой, другая получена в условиях действия исследуемого фактора.

По данным сравниваемых серий измерений рассчитывается сумма квадратов отклонений от общего среднего между сериями Q₁ и внутри серии Q₂.

где - среднее арифметическое для измерений в серии; - среднее арифметическое для обоих серий (общее среднее значение); - отдельное измерение в -той серии; - число сравниваемых серий.

Величина характеризует рассеивание исследуемого параметра между сериями, а величина - рассеивание этого параметра в серии.

Оценка достоверности влияния фактора на выбранный параметр процесса производится по критерию Фишера:

;

где - дисперсия между сериями, обусловленная изучаемым фактором;

- дисперсия внутри серии, обусловленная случайными причинами.

Если изучаемый фактор оказывает существенное влияние на изучаемый параметр, то:

Для проверки статистической значимости исследуемого влияния расчетное значение критерия сравнивают с табличным (см. Приложение 4), выбираемым в зависимости от числа степеней свободы , при данной доверительной вероятности .

Если > , то влияние фактора на исследуемый параметр значимо.

Пример. Двумя приборами выполнены измерения одного и того же объекта. Оценить значимость влияния систематических ошибок на результаты измерений при исходных данных, приведенных в таблице 3.

Таблица 3 - Исходные данные

№ п/п	Результаты измерений
1-ый прибор	2-ой прибор
	1,05	1,06
	1,08	1,07
	0,95	1,04
	0,98	1,02
	1,01	1,08
	0,97	1,03

Промежуточные результаты расчета приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Промежуточные результаты расчета

№ п/п
	1,05	1,06	0,0433	0,00187	0,01	0,0001
	1,08	1,07	0,0733	0,00537	0,02	0,0004
	0,95	1,04	-0,0567	0,00321	-0,01	0,0001
	0,98	1,02	-0,0267	0,000713	-0,03	0,0009
	1,01	1,08	0,0033	0,0000109	0,03	0,0009
	0,97	1,03	-0,0367	0,00135	-0,02	0,0004
	6,04	6,3		0,0125239		0,0028

= 1,0067;

= 1,05;

= 1,028;

;

Определяем дисперсии между сериями и внутри серий.

Расчетное значение критерия Фишера:

По таблице для известных , и находим значение . Так как < , то приборы имеют одинаковые систематические ошибки.

Дисперсионный анализ называется многофакторным если он имеет два фактора и более. Суть его принципиально не отличается от однофакторного, но существенно увеличивается количество расчетов.