принтер 250

принтер | сканер 450

поскольку последнее число равно сумме двух предыдущих, можно сразу же придти к выводу, что в этом сегменте сети нет сайтов, на которых ключевыми словами являются одновременно принтер и сканер:

принтер & сканер 0

диаграмма Эйлера для этого случая показана на рисунке справа:

2) с этого момента все просто: для того, чтобы определить, сколько сайтов удовлетворяют заданному условию

достаточно просто сложить числа, соответствующие запросам принтер & монитор и
сканер & монитор

3) таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.

Возможные проблемы: · обратите внимание, что в условии была лишняя информация: мы нигде не использовали количество сайтов в данном сегменте Интернета (1000) и количество сайтов с ключевым словом монитор (450) · не всегда удается «раскрутить» задачу в уме, здесь это несложно благодаря «удачному» условию

Решение (вариант 3, таблицы истинности):

1) для сокращения записи обозначим через C, П, М высказывания «ключевое слово на сайте – сканер» (соответственно принтер, монитор)

2) если рассматривать задачу с точки зрения математической логики, здесь есть три переменных, с помощью которых можно составить всего 8 запросов, выдающих различные результаты

	С	П	М
?
?
?
?
?
?
?
?
всего

3) составим таблицу истинности, в которую добавим левый столбец и последнюю строку, где будем записывать количество сайтов, удовлетворяющих условиям строки и столбца (см. рисунок справа); например, первая строка соответствует сайтам, на которых нет ни одного из заданных ключевых слов; такая схема непривычна, но она существенно упрощает дело

4) сумма в последней строчке получается в результате сложения всех чисел из тех строк первого столбца, где в данном столбце стоят единицы. Например, сумма в столбце С – складывается из четырех чисел в последних четырех строчках первого столбца. Мы пока не знаем, сколько результатов возвращает каждый из восьми запросов отдельно, поэтому в первом столбце стоят знаки вопроса

5) добавим в таблицу истинности остальные запросы, которые есть в условии, в том числе и тот, который нас интересует:

П | С = принтер | сканер 450

П & М = принтер & монитор 40

C & М = сканер & монитор 50

(П | C) & М = (принтер | сканер) & монитор?

	С	П	М	П | С	П & М	C & М	(П | C) & М
?
?
?
?
?
?
всего

6) проанализируем столбец П | С в этой таблице: его сумма (450) складывается из суммы столбцов С (200) и П (250) – выделены ярким зеленым цветом – плюс последние две строчки (голубой фон), то есть, 450 = 200 + 250 + X, откуда сразу получаем, что X = 0, то есть, последним двум строчкам (запросам) не удовлетворяет ни одного сайта

7) теперь составим таблицы истинности для остальных запросов, отбросив заведомо «нулевые» варианты:

	С	П	М	П | С	П & М	C & М	(П | C) & М
?
?
?
?
всего

из оставшихся шести строк таблицы запросы П & М и С & М затрагивают только по одной строчке, поэтому сразу можем вписать соответствующие числа в первый столбец; в последнем запросе, который нас интересует, присутствуют именно эти две строки, то есть, для получения нужно сложить 40 и 50

8) таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.

Решение (вариант 3, через диаграммы и систему уравнений):

1) для сокращения записи обозначим через C, П, М высказывания «ключевое слово на сайте – сканер» (соответственно принтер, монитор) и нарисуем эти области виде диаграммы (кругов Эйлера); интересующему нас запросу (П | C) & M соответствует объединение областей 4, 5 и 6 («зеленая зона» на рисунке)

2) количество сайтов, удовлетворяющих запросу в области i, будем обозначать через N_i

3) составляем уравнения, которые определяют запросы, заданные в условии:

сканер N₁ + N₂ + N₄ + N₅ = 200

принтер N₂ + N₃ + N₅ + N₆ = 250

принтер | сканер N₁ + N₂ + N₄ + N₅ + N₃ + N₆ = 450

из первого и третьего уравнений сразу следует

200 + N₃ + N₆ = 450 Þ N₃ + N₆ = 250

далее из второго уравнения

N₂ + N₅ + 250 = 250 Þ N₂ + N₅ = 0

поскольку количество сайтов не может быть отрицательной величиной, N₂ = N₅ = 0

4) посмотрим, что еще мы знаем (учитываем, что N₅ = 0):

принтер & монитор N₅ + N₆ = 40 Þ N₆ = 40

сканер & монитор N₄ + N₅ = 50 Þ N₄ = 50

5) окончательный результат:

(принтер | сканер) & монитор N₄ + N₅ + N₆ = N₄ + N₆ = 40 + 50 = 90

6) таким образом, правильный ответ 90.

Возможные проблемы: · внимательнее с индексами переменных, очень легко по невнимательности написать N5 вместо N6 и получить совершенно другой результат · этот метод ярко демонстрирует, что в общем случае мы получаем систему уравнения с семью неизвестными (или даже с восемью, если задействована еще и область вне всех кругов); решать такую систему вручную достаточно сложно, поэтому на экзамене всегда будет какое-то условие, сильно упрощающее дело, ищите его

Еще пример задания:

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

	Запрос	Количество страниц (тыс.)
	мезозой
	кроманьонец
	неандерталец
	мезозой | кроманьонец
	мезозой | неандерталец
	неандерталец & (мезозой | кроманьонец)

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

кроманьонец & (мезозой | неандерталец)

Решение (способ 1, круги Эйлера):

1) обозначим области «мезозой», «кроманьонец» и «неандерталец» буквами М, К и Н; пронумеруем подобласти, получившиеся в результате пересечений кругов (см. рисунок справа)

2) через N­_i обозначим количество сайтов в области с номером i

3) нас интересует результат запроса

кроманьонец & (мезозой | неандерталец)

то есть N­₂ + N₅ + N₆(зеленая область на рисунке)

4) из первых двух запросов следует, что

N₁ + N₂ + N₄ + N₅ = 50 (мезозой)

N₂ + N₃ + N₅ + N₆ = 60 (кроманьонец)

5) складывая левые и правые части уравнений, получаем

(1) N₁ + 2·N₂ + N₃ + N₄ + 2·N₅ + N₆ = 110

6) в то же время из запроса 4 получаем

(2) N₁ + N₂ + N₃ + N₄ + N₅ + N₆ = 80 (мезозой | кроманьонец)

7) вычитая из уравнения (1) уравнение (2), отдельно левые и правые части, получаем

N₂ + N₅ = 30 (мезозой & кроманьонец)

вспомним, что наша цель – определить N­₂ + N₅ + N₆, поэтому остается найти N₆

8) из запросов 1 и 3 следует, что

N₁ + N₂ + N₄ + N₅ = 50 (мезозой)

N₄ + N₅ + N₆ + N₇ = 70 (неандерталец)

9) складывая левые и правые части уравнений, получаем

(3) N₁ + N₂ + 2·N₄ + 2·N₅ + N₆ + N₇ = 120

10) в то же время из запроса 5 получаем

(4) N₁ + N₂ + N₄ + N₅ + N₆ + N₇ = 100 (мезозой | неандерталец)

11) вычитая из уравнения (3) уравнение (4), отдельно левые и правые части, получаем

(5) N₄ + N₅ = 20 (мезозой & неандерталец)

12) теперь проанализируем запрос 6:

неандерталец & (мезозой | кроманьонец)

(6) N₄ + N₅ + N­₆ = 20

13) вычитая из уравнения (6) уравнение (5) получаем N₆ = 0, поэтому

N₂ + N₅ + N₆ = N₂ + N₅ = 30

14) таким образом, ответ – 30.

Решение (способ 2, М.С. Коротков, г. Челябинск, Лицей № 102):

1) пп. 1-3 такие же, как в первом способе;

2) из запросов 1 и 6 следует, что

(1) N₄ + N₅ + N₆ + N₇ = 70 (неандерталец)

(2) N₄ + N₅ + N­₆ = 20 неандерталец & (мезозой | кроманьонец)

3) вычитая (2) из (1), сразу получаем, что N₇ = 50

4) из запросов 5 и 4 следует, что

(3) N₁ + N₂ + N₄ + N₅ + N₆ + N₇ = 100 (мезозой | неандерталец)

(4) N₁ + N₂ + N₃ + N₄ + N₅ + N₆ = 80 (мезозой | кроманьонец)

5) вычитая (4) из (3), сразу получаем, что N₇ - N₃ = 20

6) в п. 3 мы уже определили, что N₇ = 50, поэтому 50 - N₃ = 20, откуда N₃ = 30

7) из запроса 2 получаем

N₂ + N₃ + N₅ + N₆ = 60 (кроманьонец)

поэтому размер интересующей нас области равен

N₂ + N₅ + N₆ = 60 – N₃ = 60 – 30 = 30

8) таким образом, ответ – 30.

Решение (способ 3, круги Эйлера, И.Б. Курбанова, г. Санкт-Петербург, ГОУ СОШ № 594):

1) обозначим: М – мезозой, К – кроманьонец, Н – неандерталец.

2) нас интересует результат запроса (см. диаграмму Эйлера)

K & (M | Н)

3) т.к. по условию М = 50, К = 60, а объединение этих множеств М | К = 80, можно сделать вывод, что область пересечения

M & K = 50 + 60 – 80 = 30;

4) т.к. по условию М = 50, Н = 70, а объединение этих множеств М | Н = 100, можно сделать вывод, что область пересечения

M & Н = 50 + 70 – 100 = 20;

5) заметим, что M & Н = 20 и Н & (М | К) = 20, следовательно множества Н и К не пересекаются (К & Н = 0);

6) перерисуем диаграмму Эйлера так, чтобы множества К и Н не пересекались (см. рисунок справа); из новой схемы видно, что

К & (М | Н) = (К & М) | (К & Н) = К & М = 30

7) ответ: 30

[1] Каждая следующая область в полученном решении должна полностью включать предыдущую. Если это не так, тогда или вы ошиблись при построении таблицы истинности, или (не дай Бог!) в условии есть ошибка.

[2] Как мы увидим далее, при использовании других методов решения, это условие принципиально облегчает решение данной задачи. Во всех известных автору вариантах подобных задач такое упрощающее условие было.