Пример Д3

Механическая система (рис. Д3) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней и , радиус инерции относительно оси вращения ), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к блоку 1.

Рис. Д.3

Дано: Н, Н, Н, Н, , м, м, м; м.

Определить: ускорение груза 3, пренебрегая трением.

Решение:

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, – идеальные. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение груза 3, полагая, что он движется вниз и отсчитывая в сторону движения (рис. Д3). Составим уравнение Лагранжа:

. (1)

2. Определим кинетическую энергию всей системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

. (2)

Грузы 3 и 4 движутся поступательно, поэтому шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, следовательно

, , . (3)

Скорости , и выразим через обобщенную скорость :

, , . (4)

Подставляя значения величин (4) в равенства (3), а затем значения , и в соотношение (2), получим:

. (5)

Так как кинетическая энергия зависит только от , производные левой части уравнения (1) примут вид:

, . (6)

3. Найдем обобщенную силу . Для этого составим уравнение работ активных сил на перемещении . Изобразим на чертеже активные силы , , и пару сил с моментом . Сообщим системе возможное перемещение и составим выражение для суммы работ: