Формулы Лапласа

Эти формулы дают приближенное значение вероятности наступления события А определённое число раз в серии из n независимых испытаний, если число n достаточно велико. Пусть p (0 <p< 1)– вероятность события А в каждом испытании, q = 1 – p – вероятность события .

Теорема 4 (локальная формула Лапласа). Вероятность наступления события А ровно m раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа:

(m) ∙ ,

где ∙ .

Замечание 2. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции = ∙ (в приложении 2 табл. П 2.1), соответствующие положительным значениям аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция φ(x) является чётной, т.е. φ(-x) = φ(x).

Замечание 3. Формула Лапласа тем точнее приближает формулу Бернулли, чем больше число n (более нескольких десятков) и n∙p > 10.

Теорема 5 (интегральная формула Лапласа). Вероятность того, что событие А наступит от до раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа: (, ) Ф () – Ф (),

где Ф (х) = ∙ d t.

Замечание 4. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции Ф (х) при 0 ≤ х ≤ 5 (в приложении 2 табл. П 2.2). При х < 0 пользуются теми же таблицами, так как функция Ф (х) является нечётной, т.е. Ф (- х) = = - Ф (х). Для х > 5 можно считать Ф (х) = 0,5.