2015-02-04
486
Для получения интерполяционной формулы Лагранжа мы будем исходить из понятия параболического интерполирования. Рассмотрим функцию f (x), для которой заданы значения уi = f (x i), i = 0, 1, 2,…, n, причем все хiуi известны. Требуется определить многочлен у = F(x) степени n, для которою F (xi) =f (x i).
Искомый многочлен можно записать в виде
F(x) = a0 + a1x1 + a2 
+ … + an 
(3.3
Чтобы отыскать неизвестные коэффициенты a0, a1,..., an, используя приведенные выше условия, можно написать систему из (n + 1) уравнений с(n + 1 ) неизвестными. Эта система будет иметь следующий вид:
. (3.4)
Вместо того, чтобы решать систему уравнений (3.4), можно поступить иначе: непосредственно построить многочлен F (x), удовлетворяющий всем поставленным условиям.
Найдем прежде всего выражение для многочлена, принимающего в точке х = х 0 значение у 0 = 1, а в точках х = х1, х = х2,…,х = хn – значения у1 = у2 =... = уп = 0. Можно проверить, что такой многочлен будет иметь следующий вид:
.
Действительно, значения х = х1, х = х2,…, х = хn являются корнями этого многочлена, а при х = х0 числитель равен знаменателю.
|
|
|
Теперь построим многочлен у = F0 (x), принимающий в точке х = x0 значение y0 и обращающийся в нуль для значений x = xi (i = 0, 1, 2,..., n). Учитывая предыдущее построение, нетрудно заметить, что многочлен F0 (x) должен иметь вид
После этих предварительных построений можно перейти к отысканию многочлена F (x), принимающего в точках x = xi (i = 0,1,2,...,n) заданные значения F (xi) = уi.. Для этого определим при фиксированном индексе j (0 ≤ j ≤ n) многочлен Fj (x),принимающий в точке x = хj значение Fj (xj) = yj = F (xj), а во всех остальных точках x = xi (i = 0, 1, 2,..., n, i ≠ j) значения F2 (xi) = 0. Очевидно, это будет многочлен
Fj (x) = 
yj.
Искомый многочлен будет равен сумме
так как в каждой точке хj только одно из слагаемых принимает нужное значение yj, а все остальные слагаемые обращаются в нуль. Итак, искомый многочлен найден. Подставляя в сумму вместо Fj (x) их выражения, получим
(3.5) 
В развернутом виде выражение (3.5) имеет вид
(3.6)
Полученная формула (3.6) называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Рассмотрим примеры. Положим п = 1. В этом случае мы имеем две точки х 0 и х 1, и формула Лагранжа дает уравнение прямой. Обозначив абсциссы этих точек х 0 =а и х 1 =b, получим интерполяционный многочлен в виде
F (x) = 
Теперь положим n = 2. Тогда мы получим уравнение параболы, проходящей через три точки. Абсциссы этих точек обозначим х 0 = а, х 1 = b,
х 2 = с. Тогда искомое уравнение будет иметь вид
F (x) = 
