Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа

Предположим, что некоторая функция задана таблицей значений y_i = f (x_i), с постоянным шагом аргумента h = x_i – x_i _-1 . Для того, чтобы выразить значение производной через значения функции в узлах интерполяции, запишем интерполяционный многочлен Лагранжа степени m, удовлетворяющий условиям L_m (x_k) = y_k = f (x_k), :

где лагранжевы коэффициенты вычисляются как

Дифференцируя этот многочлен, можно получить приближенные значения производных в узлах интерполирования x_k .

В частности, для m = 1 получим:

;

численный дифференцирование производная интерполяционный

Пусть m = 2. Тогда

, (5)

, (6)

. (7)

В целом для отрезка [ x ₀, x_n ] рекомендуется вычислять производные следующим образом:

а) значение y ¢(x ₀) - по формуле (5), где x_i = x ₀;

б) значения y ¢(x_i) - по формуле (6), где x_i ₊₁ ;

в) значение y ¢(x_n) - по формуле (7), где x_i ₊₂ = x_n.

№12 ЧисленДиффМетод неопределенных коэффициентов

Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольного расположения узлов. Использование многочлена Лагранжа в этом случае приводит к вычислению громоздких выражений, поэтому удобнее применять метод неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем. Искомое выражение для производной k -гo порядка в некоторой точке х = xi представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах x0, x1,...,xn:

(3.10)

Предполагается, что это соотношение выполняется точно, если функция у является многочленом степени не выше n, т.е. может быть представлена в виде

Отсюда следует, что соотношение (3.10), в частности, должно выполняться точно для многочленов у — 1, у = х - х0,..., . Подставляя последовательно эти выражения в (3.10) и требуя выполнения точного равенства, получаем систему п + 1 линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов с 0, с 1,..., сn.

Пример. Найти выражение для производной в случае четырех равноотстоящих узлов (n =3).

Приближение (3.10) запишется в виде

(3.11)

Используем следующие многочлены:

(3.12)

Вычислим их производные:

(3.13)

Подставим последовательно соотношения (3.12) и (3.13), соответственно в правую и левую части (3.11) при х = х 1, требуя выполнения точного равенства:

Получим окончательно систему уравнений в виде

Решив эту систему, получим

Подставив эти значения в (3.11), найдем выражение для производной:

№13

Формула прямоугольников

На частичном отрезке [ Xi-1, Xi ] заменим подынтегральную функцию полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. Естественно в качестве этой точки выбрать среднюю: Xi-0.5 = Xi - 0.5 H. Тогда получим формулу

. (2.6) Подставив (2.6) в (2.5), получим составную формулу средних прямоугольников:

. (2.7) Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1.Интегрирование методом средних прямоугольников Погрешность формулы (2.7) определяется выражением

(2.8) Здесь

. Таким образом, погрешность формулы (2.7) пропорциональна O(H2). Замечание. Формулу (2.7) можно представить в ином виде:

. (2.9) Эти формулы в выражении (2.9) называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис. 2.2.

А) б)

Рис. 2.2. Метод левых (а) и правых (б) прямоугольников

Однако из-за нарушения симметрии в формулах (2.9) их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников и ~ O(H).

№14

Формула трапеций

Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени, то есть

, (2.10) Тогда искомый интеграл запишется следующим образом:

(2.11) После подстановки выражения (2.11) в (2.5) составная формула трапеций примет вид

(2.12) Графически метод трапеций представлен на рис. 2.3.

Рис. 2.3.Метод трапеций Погрешность формулы (2.12) определяется выражением:

(2.13) Таким образом, погрешность метода трапеций Ψ ~ O(H²), но она в два раза больше, чем для формулы средних прямоугольников.

№ 15 Метод Парабол он же Симпсона

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(Xj, F (Xj)), где J = I -1; I -0.5; I, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(2.14)