Гармоническая линеаризация нелинейностей

Гармоническая линеаризация нелинейных элементов. Этот метод используется для исследования нелинейных систем с линейной частью выше третьего порядка. В большинстве систем переходной процесс представляет собой затухающие колебания, поэтому на входе нелинейного элемента по главной обратной связи (ГОС) передаётся периодический сигнал с медленно меняющейся амплитудой и при наличии входного сигнала вместе с постоянной составляющей.

;

Будем считать, что на входе нелинейного элемента за некоторый малый начальный промежуток времени амплитуда и частота не измены или они соответствуют амплитуде и частоте автоколебаний системы. На выходе НЭ получим периодическую функцию, которую можно разложить в ряд Фурье. При исследовании нелинейных систем чаще всего используют только первую гармоническую составляющую, т.к. в большинстве случаев линейная часть системы является фильтром низких частот. Но для того что бы проверить это и возможности применимости этого метода исследований необходимо определить частоту автоколебаний в системе, по которой в дальнейшем определить способность линейной части отфильтровывать высшие гармоники. Для этого строят АЧХ линейной части (ЛЧ).

Пусть ЛЧ системы является фильтром НЧ, и будем считать, что колебания на входе нелинейного элемента НЭ синусоидальные, тогда выходным сигналом НЭ:

где А_к и В_к – коэффициенты разложения Фурье нелинейной функции:

Если нелинейная характеристика симметрична и нейтральна, то коэффициент разложения ряда Фурье В_к =0 и в разложении отсутствуют чётные гармоники:

Используя эти соотношения, выразим значение синуса и косинуса через входной сигнал

.

Подставим эти соотношения в уравнение для выхода НЭ и учтём только первую гармонику.

Запишем это уравнение в операторной форме:

где , , .

Коэффициент А₀ – амплитуда автоколебаний; q – коэффициент гармонической линеаризации по синусоидальной составляющей, он зависит от амплитуды сигнала на входе НЭ; b₁ – коэффициент гармонической линеаризации по косинусоидальной составляющей; ω₀ – амплитуда автоколебаний.

При отсутствии постоянной составляющей на входе НЭ мы получим уравнение описания поведения НЭ:

- это уравнение гармонической линеаризации НЭ.

Гармонически линеаризованный НЭ можно представить в виде:

В этом случае мы можем вывести передаточную функцию для НЭ:

при отсутствии постоянной составляющей на входе.

Коэффициент А₀ – амплитуда автоколебаний;

q – коэффициент гармонической линеаризации по синусоидальной составляющей, он зависит от амплитуды сигнала на входе НЭ;

b₁ – коэффициент гармонической линеаризации по косинусоидальной составляющей;

ω₀ – амплитуда автоколебаний.

На линейную часть системы действует выходной сигнал с НЭ, который содержит весь спектр частот разложения Фурье. В силу принципа суперпозиции можно считать, что каждая гармоника действует на линейную часть независимо от другой. Поэтому на выходе системы могут устанавливаться периодические колебания, которые будут содержать весь спектр частот, соответствующих сигналу НЭ, но амплитуда каждой гармоники будет определяться коэффициентом преобразования правой части по рассмотренной гармонике ().

;

Подставив АЧХ линейной части можно установить соотношение изменения амплитуд для каждой гармоники и проверить, является ли линейная часть ФНЧ (можно ли отбросить высшие гармоники).

Если установлена частота автоколебаний и известны коэффициенты гармонической линеаризации НЭ, учитывающие только первую гармонику, то частота (частоте первой гармоники). Если то можно отбросить высшие гармоники и этот метод подходит. Т.е. можно ограничиться расчетом только одной гармоники на выходе НЭ. Тогда для однозначной нечётной характеристики НЭ будет иметь:

;

Для гистерезисной нечётной характеристики:

В первом случае НЭ эквивалентен безинерционному звену с некоторыми особенностями – коэффициент пропорциональности зависит от амплитуды или частоты сигнала на входе НЭ.

В случае с гистерезисной нелинейности звено эквивалентно форсирующему звену. Особенность этого способа линеаризации позволяет использовать для анализа нелинейной системы частотные методы линейной теории.