Лекция 9. Моделирование объектов с распределенными параметрами

Содержание лекции:

- аналитические методы моделирования объектов с

распределенными параметрами.

Цель лекции:

- изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с распределенными параметрами.

Существуют объекты, для которых некоторые координаты состояния (технологические параметры) требуют ориентации в геометрическом пространстве. Например, температура факела в различных точках топочного пространства различна. Модели таких объектов являются распределенными по параметрам и необходимо вводить в оператор модели геометрические координаты z = (z₁, z₂,z₃).

К наиболее важным теплоэнергетическим объектам с распределенными параметрами относятся теплообменники с однофазным и двухфазным теплоносителем. При аналитическом исследовании динамических свойств распределенных теплообменников, обычно поток рабочей среды считается одномерным, то есть физические параметры среды по сечению трубы предполагаются постоянными. При рассмотрении обычно также пренебрегают изменением кинетической и потенциальной энергии движущейся среды, поскольку эти величины малы по сравнению с изменениями тепловой энергии, имеющими место в период переходных процессов. С учетом этих замечаний основные уравнения для рабочей среды, которые принимаются исходными при аналитическом исследовании распределенных теплообменников, значительно упрощаются.

Пример 9.1. Дан участок трубопровода длиной L с постоянным сечением f, по которому движется несжимаемый поток (жидкость), характеризуемый расходом G, давлением Р и температурой q, относящимися к каждому из сечений трубопровода. Трубопровод не изолирован, то есть процесс изотермический. Изучим связи физических характеристик потока во входном (1) и выходном (2) сечениях.

Изучаемый объект является распределенным по длине (z), параметры среды считаются одинаковыми по сечению (одномерный объект).

Запишем основные уравнения:

- уравнение сохранения количества вещества

(9.1)

- уравнение сохранения количества движения

; (9.2)

- уравнение состояния рабочего тела (для r)

. (9.3)

Эта система является исходной формой представления модели трубопровода. Аналитическое решение системы возможно только при упрощающих допущениях. Такое допущение может состоять в том, что трубопровод разбивают на ряд элементарных отрезков, каждый из которых представляет собой сосредоточенный объект. Приближение к реальной системе тем лучше, чем меньше размер элементов. Первое приближение получают, заменяя систему одним элементом и составляя уравнения модели сосредоточенного объекта. Лучшее приближение получается при замене системы несколькими элементами.

Рассмотрим различные случаи:

а) будем рассматривать динамику давлений и расходов не в любом сечении (то есть не при любом z), а только связь входного и выходного сечений (это соответствует начальной постановке задачи). Тогда вместо исходной схемы трубопровода можно рассматривать ее эквивалент, отличающийся выделением сосредоточенного объема , а также гидравлического сопротивления, приведенного к выходному сечению:

где p - суммарный коэффициент местных сопротивлений трубы; - коэффициент трения рабочей среды о стенки трубы.

Кроме того, пренебрежем ускорением потока, вызванным динамикой изменения давления по длине трубопровода, т.е. примем

Тогда (9.2) примет вид:

(9.4)

Поскольку вся масса рабочей среды сосредоточена в эквивалентном объеме V, находящемся под давлением p₁, то вместо (9.3) принимаем

r₁ = r (p₁, q). (9.5) Уравнения сохранения (9.1) преобразуем с учетом длины трубопровода:

или (9.6)

Вместо (9.4) аналогично

или (9.7)

Считая характер течения потока докритическим, используем известное из гидравлики соотношение, определяющее величину потерь на трение

(9.8)

Отсюда выразим G₂ и используя (10.6), получим уравнение сохранения количества движения

. (9.9)

Таким образом, (9.5), (9.6), (9.9) - система относительно шести физических характеристик потока G₁, G₂, P₁, P₂, r₁, q.

Дальнейшее преобразование зависит от деления характеристик на экзогенные и эндогенные переменные. Наиболее распространенным является следующее деление: пусть независимые переменные - G₁, P₂, q. Тогда система должна разрешиться относительно G₂, P₁, r₁. Обычно ограничиваются изучением поведения измеряемых координат состояния объекта, то есть G₂, P₁. Тогда уравнение состояния (9.5) используется для исключения r₁

;

. (9.10)

Эта система и является сосредоточенной нелинейной динамической стационарной моделью трубопровода.

б) рассмотрим линеаризованную модель, получающуюся применением ряда Тейлора к нелинейным соотношениям.

В частности, записывая систему уравнений в приращениях переменных относительно исходного состояния, отмеченного дополнительным индексом «0» у переменных, получим:

Окончательно:

где

При необходимости может быть получена эквивалентная модель, образованная совокупностью шести каналов «вход-выход». Определение характеристик каждого из каналов может быть выполнено в соответствии с известными в теории автоматического управления правилами эквивалентирования.

в) условия задачи аналогичны примеру из п.а). Отличие заключается в том, что по трубопроводу перемещается сжимаемый поток. Здесь основное допущение состоит в том, что свойства сжимаемого потока близки к свойствам идеального газа. Это дает основание использовать известные из термодинамики соотношения для определения свойств сжимаемой среды. В частности, для изотермического процесса