Содержание лекции:
- аналитические методы моделирования тепловых объектов с сосредоточенными параметрами..
Цель лекции:
- изучить на примерах основные методы аналитического моделирования тепловых объектов с сосредоточенными параметрами.
Рассмотрим конкретные теплоэнергетические объекты. Исходными уравнениями являются приведенные выше уравнения материального и теплового баланса.
Пример 8.1.Необогреваемый участок парогенератора (коллектор, соединительный паропровод). Входная величина – температура среды на входе в участок, выходная - температура среды на выходе из участка. Давление среды в участке предполагается постоянным, отвод тепла в окружающую среду отсутствует.
Примем обозначения: Dc – расход среды; – энтальпия среды на входе и выходе; Qм – тепловой поток к металлу участка; Ic – энтальпия среды участка; Iм – энтальпия металла участка; Gc и Gм – масса среды и металла на участке; iм – энтальпия металла; α2 – коэффициент теплоотдачи на внутреннюю поверхность H2 участка; и – температура среды на входе и выходе участка; – температура металла; ср и см – удельные теплоемкости среды и металла.
|
|
Уравнение теплового баланса для рабочей среды:
.
Уравнение теплового баланса для металла:
.
Учитывая, что Ic = i’’c· Gc, Iм = iм· Gм, Qм = α2·H2· (Θ’’c - Θм), ∆i = с·∆ Θ,
после перехода к отклонениям переменных и вычитания уравнений стационарного режима, получим дифференциальные уравнения для линейной модели участка:
(8.1) . (8.2)
Преобразуем по Лапласу уравнения (8.1), (8.2). Для этого обе части уравнения умножим на e-st и проинтегрируем от 0 до ∞, имея ввиду, что изображения функции и ее производной (при нулевых начальных условиях) связаны следующим свойством
y(t)÷Y(s), y'(t)÷sY(s).
Примем ∆Θ’’c ÷ Z(s), ∆Θ’c ÷Y(s), ∆Qм ÷X(s). Тогда
Из второго уравнения: .
Из первого уравнения:
.
Разделим на Dccp. Получим
.
Отсюда .
Постоянная времени физически соответствует времени заполнения средой участка при данном расходе среды и обычно мала. В практических расчетах ее принимают равной 0, и передаточная функция принимает более простое выражение:
где .
Пример 8.2.Теплообменник смешения (коллектор впрыска). Входными переменными являются расход и температура среды на входе, расход впрыскиваемой воды; выходная величина – температура среды на выходе. Расход среды на выходе равен сумме расходов среды на входе и расхода среды на впрыск, температура впрыскиваемой воды предполагается постоянной.
Уравнение теплового баланса для рабочей среды
где - расход среды на входе и выходе участка, - расход воды на впрыск, - энтальпия впрыскиваемой воды.
|
|
Аналогично предыдущему после перехода к отклонениям переменных и вычитания уравнения стационарного режима получим линейное дифференциальное уравнение для рабочей среды
(8.3)
где - расход среды на входе и выходе участка в стационарном режиме, - энтальпия среды на входе участка в стационарном режиме, - энтальпия впрыскиваемой воды в стационарном режиме.
Для металла сохраняется в силе уравнение (8.2).
Из уравнений (8.2) (8.3) после преобразований по Лапласу и аналогичных предыдущему упрощений получим передаточные функции по различным каналам:
а) найдем передаточную функцию по каналу : Отсюда
где .
Поделив на и принимая, что постоянная времени мала, имеем:
где
б) передаточная функция по каналу
равна где ;
в) по каналу
равна где .
Пример 8.3. Паровая емкость. Предполагается, что сопротивление емкости сосредоточено на ее выходе и энтальпия среды в переходном процессе остается без изменения. Давление среды за емкостью поддерживается постоянным с помощью регулятора, задание которому может изменяться. Изменение давления среды в емкости не влияет на расход подводимого вещества. Входными величинами являются расход среды на входе и давление среды на выходе, выходными – расход среды на выходе и давление в емкости.
Уравнение материального баланса для среды
. (8.4)
Расход среды через сосредоточенное сопротивление определяется выражением
(8.5)
где - давление среды перед сопротивлением и за ним.
После перехода к отклонениям переменных и линеаризации с учетом, что Gc =ρc ·V и , получим уравнения линейной модели системы
; (8.6)
(8.7)
где V - объем среды в участке, ρc - плотность среды, - давление среды перед и за сопротивлением в стационарном режиме, - расход среды в стационарном режиме.
После преобразования по Лапласу из последних уравнений можно получить передаточные функции по каналам
, ,
(рекомендуется студентам получить самостоятельно).